Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48626 / 50738
↖ ↑ ↗
← S 69.752354°
E 87.110596°		 ← 211.38 m → S 69.752354°
E 87.116089°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
S 69.754255°
E 87.110596°		 ← 211.36 m →
44 682 m²		 S 69.754255°
E 87.116089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741981506347656 y=0.774208068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741981506347656 × 216)
    floor (0.741981506347656 × 65536)
    floor (48626.5)     		tx = 48626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774208068847656 × 216)
    floor (0.774208068847656 × 65536)
    floor (50738.5)     		ty = 50738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48626 / 50738 ti = "16/48626/50738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48626/50738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48626 ÷ 216
    48626 ÷ 65536     		x = 0.741973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50738 ÷ 216
    50738 ÷ 65536     		y = 0.774200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741973876953125 × 2 - 1) × π
    0.48394775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52036671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.54840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72285217234482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52036671} λ = 1.52036671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72285217234482))-π/2
    2×atan(0.178556148046016)-π/2
    2×0.176694047709589-π/2
    0.353388095419178-1.57079632675     		φ = -1.21740823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52036671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.110596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21740823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.752354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48626 KachelY 50738 1.52036671 -1.21740823 87.110596 -69.752354
    Oben rechts KachelX + 1 48627 KachelY 50738 1.52046258 -1.21740823 87.116089 -69.752354
    Unten links KachelX 48626 KachelY + 1 50739 1.52036671 -1.21744141 87.110596 -69.754255
    Unten rechts KachelX + 1 48627 KachelY + 1 50739 1.52046258 -1.21744141 87.116089 -69.754255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21740823--1.21744141) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21740823--1.21744141) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52036671-1.52046258) × cos(-1.21740823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346078518949598 × 6371000     		do = 211.380526834123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52036671-1.52046258) × cos(-1.21744141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346047389098871 × 6371000     		du = 211.361513102017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21740823)-sin(-1.21744141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346078518949598-0.346047389098871)×R²
    abs(1.52046258-1.52036671)×3.1129850726952e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1129850726952e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1129850726952e-05×40589641000000     		ar = 44681.6734133821m²