Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48622 / 50931
↖ ↑ ↗
← S 70.116091°
E 87.088623°		 ← 207.76 m → S 70.116091°
E 87.094116°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 70.117958°
E 87.088623°		 ← 207.74 m →
43 149 m²		 S 70.117958°
E 87.094116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741920471191406 y=0.777153015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741920471191406 × 216)
    floor (0.741920471191406 × 65536)
    floor (48622.5)     		tx = 48622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777153015136719 × 216)
    floor (0.777153015136719 × 65536)
    floor (50931.5)     		ty = 50931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48622 / 50931 ti = "16/48622/50931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48622/50931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48622 ÷ 216
    48622 ÷ 65536     		x = 0.741912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50931 ÷ 216
    50931 ÷ 65536     		y = 0.777145385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741912841796875 × 2 - 1) × π
    0.48382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51998321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.554290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74135581559816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51998321} λ = 1.51998321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74135581559816))-π/2
    2×atan(0.175282588571115)-π/2
    2×0.173519844747181-π/2
    0.347039689494362-1.57079632675     		φ = -1.22375664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51998321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22375664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.116091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48622 KachelY 50931 1.51998321 -1.22375664 87.088623 -70.116091
    Oben rechts KachelX + 1 48623 KachelY 50931 1.52007909 -1.22375664 87.094116 -70.116091
    Unten links KachelX 48622 KachelY + 1 50932 1.51998321 -1.22378924 87.088623 -70.117958
    Unten rechts KachelX + 1 48623 KachelY + 1 50932 1.52007909 -1.22378924 87.094116 -70.117958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22375664--1.22378924) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22375664--1.22378924) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51998321-1.52007909) × cos(-1.22375664) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.340115471587187 × 6371000     		do = 207.760039190276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51998321-1.52007909) × cos(-1.22378924) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.340084814898487 × 6371000     		du = 207.741312506612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22375664)-sin(-1.22378924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340115471587187-0.340084814898487)×R²
    abs(1.52007909-1.51998321)×3.06566886996151e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.06566886996151e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.06566886996151e-05×40589641000000     		ar = 43148.6935238803m²