Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4862 / 3570
↖ ↑ ↗
← N 22.512557°
E 33.662109°		 ← 4 514.12 m → N 22.512557°
E 33.706055°		 →
↑
4 514.75 m
↓
↑
4 514.75 m
↓
N 22.471955°
E 33.662109°		 ← 4 515.45 m →
20 383 099 m²		 N 22.471955°
E 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59356689453125 y=0.43585205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59356689453125 × 213)
    floor (0.59356689453125 × 8192)
    floor (4862.5)     		tx = 4862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43585205078125 × 213)
    floor (0.43585205078125 × 8192)
    floor (3570.5)     		ty = 3570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4862 / 3570 ti = "13/4862/3570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4862/3570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4862 ÷ 213
    4862 ÷ 8192     		x = 0.593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3570 ÷ 213
    3570 ÷ 8192     		y = 0.435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.403436947202393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58751464} λ = 0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403436947202393))-π/2
    2×atan(1.49696084163422)-π/2
    2×0.981857284337594-π/2
    1.96371456867519-1.57079632675     		φ = 0.39291824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39291824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.512557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4862 KachelY 3570 0.58751464 0.39291824 33.662109 22.512557
    Oben rechts KachelX + 1 4863 KachelY 3570 0.58828163 0.39291824 33.706055 22.512557
    Unten links KachelX 4862 KachelY + 1 3571 0.58751464 0.39220960 33.662109 22.471955
    Unten rechts KachelX + 1 4863 KachelY + 1 3571 0.58828163 0.39220960 33.706055 22.471955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39291824-0.39220960) × R
    0.000708639999999983 × 6371000     		dl = 4514.74543999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39291824-0.39220960) × R
    0.000708639999999983 × 6371000     		dr = 4514.74543999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58751464-0.58828163) × cos(0.39291824) × R
    0.000766990000000023 × 0.923795642073861 × 6371000     		do = 4514.1212063253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58751464-0.58828163) × cos(0.39220960) × R
    0.000766990000000023 × 0.92406673836313 × 6371000     		du = 4515.44591652376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39291824)-sin(0.39220960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923795642073861-0.92406673836313)×R²
    abs(0.58828163-0.58751464)×0.000271096289269357×R²
    0.000766990000000023×0.000271096289269357×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271096289269357×40589641000000     		ar = 20383099.3495116m²