Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4861 / 3555
↖ ↑ ↗
← N 23.120153°
E 33.618164°		 ← 4 494.03 m → N 23.120153°
E 33.662109°		 →
↑
4 494.68 m
↓
↑
4 494.68 m
↓
N 23.079732°
E 33.618164°		 ← 4 495.38 m →
20 202 239 m²		 N 23.079732°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59344482421875 y=0.43402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59344482421875 × 213)
    floor (0.59344482421875 × 8192)
    floor (4861.5)     		tx = 4861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43402099609375 × 213)
    floor (0.43402099609375 × 8192)
    floor (3555.5)     		ty = 3555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4861 / 3555 ti = "13/4861/3555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4861/3555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4861 ÷ 213
    4861 ÷ 8192     		x = 0.5933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3555 ÷ 213
    3555 ÷ 8192     		y = 0.4339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5933837890625 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58674765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4339599609375 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.414941803111206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58674765} λ = 0.58674765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414941803111206))-π/2
    2×atan(1.5142826115909)-π/2
    2×0.987159565524735-π/2
    1.97431913104947-1.57079632675     		φ = 0.40352280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58674765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40352280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.120153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4861 KachelY 3555 0.58674765 0.40352280 33.618164 23.120153
    Oben rechts KachelX + 1 4862 KachelY 3555 0.58751464 0.40352280 33.662109 23.120153
    Unten links KachelX 4861 KachelY + 1 3556 0.58674765 0.40281731 33.618164 23.079732
    Unten rechts KachelX + 1 4862 KachelY + 1 3556 0.58751464 0.40281731 33.662109 23.079732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40352280-0.40281731) × R
    0.000705490000000031 × 6371000     		dl = 4494.6767900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40352280-0.40281731) × R
    0.000705490000000031 × 6371000     		dr = 4494.6767900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58674765-0.58751464) × cos(0.40352280) × R
    0.000766990000000023 × 0.919683438671307 × 6371000     		do = 4494.0269519916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58674765-0.58751464) × cos(0.40281731) × R
    0.000766990000000023 × 0.9199602279276 × 6371000     		du = 4495.37948083522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40352280)-sin(0.40281731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919683438671307-0.9199602279276)×R²
    abs(0.58751464-0.58674765)×0.000276789256292931×R²
    0.000766990000000023×0.000276789256292931×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276789256292931×40589641000000     		ar = 20202239.0626684m²