Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 486 / 589
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  9.140625°		 ← 35.101 km → S 26.115986°
W  8.789063°		 →
↑
35.053 km
↓
↑
35.053 km
↓
S 26.431228°
W  9.140625°		 ← 35.006 km →
1 228.74 km²		 S 26.431228°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47509765625 y=0.57568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47509765625 × 210)
    floor (0.47509765625 × 1024)
    floor (486.5)     		tx = 486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57568359375 × 210)
    floor (0.57568359375 × 1024)
    floor (589.5)     		ty = 589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 486 / 589 ti = "10/486/589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/486/589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 486 ÷ 210
    486 ÷ 1024     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 589 ÷ 210
    589 ÷ 1024     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 486 KachelY 589 -0.15953400 -0.45580994 -9.140625 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 487 KachelY 589 -0.15339808 -0.45580994 -8.789063 -26.115986
    Unten links KachelX 486 KachelY + 1 590 -0.15953400 -0.46131196 -9.140625 -26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 487 KachelY + 1 590 -0.15339808 -0.46131196 -8.789063 -26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.46131196) × R
    0.00550202 × 6371000     		dl = 35053.36942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.46131196) × R
    0.00550202 × 6371000     		dr = 35053.36942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(-0.45580994) × R
    0.00613592000000002 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 35100.8460653816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(-0.46131196) × R
    0.00613592000000002 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 35005.6371959588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.895469284374037)×R²
    abs(-0.15339808--0.15953400)×0.0024355111061356×R²
    0.00613592000000002×0.0024355111061356×6371000²
    0.00613592000000002×0.0024355111061356×40589641000000     		ar = 1228737327.96762m²