Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 486 / 314
↖ ↑ ↗
← N 56.944974°
W  9.140625°		 ← 21.322 km → N 56.944974°
W  8.789063°		 →
↑
21.377 km
↓
↑
21.377 km
↓
N 56.752723°
W  9.140625°		 ← 21.432 km →
456.993 km²		 N 56.752723°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47509765625 y=0.30712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47509765625 × 210)
    floor (0.47509765625 × 1024)
    floor (486.5)     		tx = 486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30712890625 × 210)
    floor (0.30712890625 × 1024)
    floor (314.5)     		ty = 314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 486 / 314 ti = "10/486/314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/486/314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 486 ÷ 210
    486 ÷ 1024     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 314 ÷ 210
    314 ÷ 1024     		y = 0.306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306640625 × 2 - 1) × π
    0.38671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2149127839707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2149127839707))-π/2
    2×atan(3.37000013347368)-π/2
    2×1.28233680934749-π/2
    2.56467361869498-1.57079632675     		φ = 0.99387729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99387729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.944974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 486 KachelY 314 -0.15953400 0.99387729 -9.140625 56.944974
    Oben rechts KachelX + 1 487 KachelY 314 -0.15339808 0.99387729 -8.789063 56.944974
    Unten links KachelX 486 KachelY + 1 315 -0.15953400 0.99052187 -9.140625 56.752723
    Unten rechts KachelX + 1 487 KachelY + 1 315 -0.15339808 0.99052187 -8.789063 56.752723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99387729-0.99052187) × R
    0.00335542 × 6371000     		dl = 21377.38082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99387729-0.99052187) × R
    0.00335542 × 6371000     		dr = 21377.38082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(0.99387729) × R
    0.00613592000000002 × 0.545444229211031 × 6371000     		do = 21322.4765288715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(0.99052187) × R
    0.00613592000000002 × 0.548253489006567 × 6371000     		du = 21432.2959619975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99387729)-sin(0.99052187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545444229211031-0.548253489006567)×R²
    abs(-0.15339808--0.15953400)×0.00280925979553515×R²
    0.00613592000000002×0.00280925979553515×6371000²
    0.00613592000000002×0.00280925979553515×40589641000000     		ar = 456992955.472632m²