Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 486 / 310
↖ ↑ ↗
← N 57.704147°
W  9.140625°		 ← 20.886 km → N 57.704147°
W  8.789063°		 →
↑
20.941 km
↓
↑
20.941 km
↓
N 57.515823°
W  9.140625°		 ← 20.995 km →
438.514 km²		 N 57.515823°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47509765625 y=0.30322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47509765625 × 210)
    floor (0.47509765625 × 1024)
    floor (486.5)     		tx = 486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30322265625 × 210)
    floor (0.30322265625 × 1024)
    floor (310.5)     		ty = 310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 486 / 310 ti = "10/486/310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/486/310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 486 ÷ 210
    486 ÷ 1024     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 310 ÷ 210
    310 ÷ 1024     		y = 0.302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302734375 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23945647657617))-π/2
    2×atan(3.45373576823313)-π/2
    2×1.28896184403541-π/2
    2.57792368807082-1.57079632675     		φ = 1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 486 KachelY 310 -0.15953400 1.00712736 -9.140625 57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 487 KachelY 310 -0.15339808 1.00712736 -8.789063 57.704147
    Unten links KachelX 486 KachelY + 1 311 -0.15953400 1.00384048 -9.140625 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 487 KachelY + 1 311 -0.15339808 1.00384048 -8.789063 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00712736-1.00384048) × R
    0.00328687999999988 × 6371000     		dl = 20940.7124799992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00712736-1.00384048) × R
    0.00328687999999988 × 6371000     		dr = 20940.7124799992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(1.00712736) × R
    0.00613592000000002 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 20886.4816034624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(1.00384048) × R
    0.00613592000000002 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 20994.9816994373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00712736)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.15339808--0.15953400)×0.00277551020577671×R²
    0.00613592000000002×0.00277551020577671×6371000²
    0.00613592000000002×0.00277551020577671×40589641000000     		ar = 438514235.427547m²