Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48599 / 81705
↖ ↑ ↗
← S 40.532589°
W 46.518860°		 ← 232.13 m → S 40.532589°
W 46.516113°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 40.534677°
W 46.518860°		 ← 232.13 m →
53 877 m²		 S 40.534677°
W 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370784759521484 y=0.623363494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370784759521484 × 217)
    floor (0.370784759521484 × 131072)
    floor (48599.5)     		tx = 48599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623363494873047 × 217)
    floor (0.623363494873047 × 131072)
    floor (81705.5)     		ty = 81705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48599 / 81705 ti = "17/48599/81705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48599/81705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48599 ÷ 217
    48599 ÷ 131072     		x = 0.370780944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81705 ÷ 217
    81705 ÷ 131072     		y = 0.623359680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370780944824219 × 2 - 1) × π
    -0.258438110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.81190727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623359680175781 × 2 - 1) × π
    -0.246719360351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.775091729956688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81190727} λ = -0.81190727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775091729956688))-π/2
    2×atan(0.460661522599299)-π/2
    2×0.431684594490719-π/2
    0.863369188981438-1.57079632675     		φ = -0.70742714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81190727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.518860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70742714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.532589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48599 KachelY 81705 -0.81190727 -0.70742714 -46.518860 -40.532589
    Oben rechts KachelX + 1 48600 KachelY 81705 -0.81185933 -0.70742714 -46.516113 -40.532589
    Unten links KachelX 48599 KachelY + 1 81706 -0.81190727 -0.70746357 -46.518860 -40.534677
    Unten rechts KachelX + 1 48600 KachelY + 1 81706 -0.81185933 -0.70746357 -46.516113 -40.534677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70742714--0.70746357) × R
    3.64300000000872e-05 × 6371000     		dl = 232.095530000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70742714--0.70746357) × R
    3.64300000000872e-05 × 6371000     		dr = 232.095530000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81190727--0.81185933) × cos(-0.70742714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760036441148348 × 6371000     		do = 232.134692464548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81190727--0.81185933) × cos(-0.70746357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760012765498973 × 6371000     		du = 232.127461311818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70742714)-sin(-0.70746357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760036441148348-0.760012765498973)×R²
    abs(-0.81185933--0.81190727)×2.367564937511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.367564937511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.367564937511e-05×40589641000000     		ar = 53876.585325974m²