Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48598 / 81742
↖ ↑ ↗
← S 40.609782°
W 46.521607°		 ← 231.87 m → S 40.609782°
W 46.518860°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
S 40.611867°
W 46.521607°		 ← 231.86 m →
53 755 m²		 S 40.611867°
W 46.518860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370777130126953 y=0.623645782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370777130126953 × 217)
    floor (0.370777130126953 × 131072)
    floor (48598.5)     		tx = 48598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623645782470703 × 217)
    floor (0.623645782470703 × 131072)
    floor (81742.5)     		ty = 81742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48598 / 81742 ti = "17/48598/81742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48598/81742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48598 ÷ 217
    48598 ÷ 131072     		x = 0.370773315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81742 ÷ 217
    81742 ÷ 131072     		y = 0.623641967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370773315429688 × 2 - 1) × π
    -0.258453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81195521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623641967773438 × 2 - 1) × π
    -0.247283935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.77686539524263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81195521} λ = -0.81195521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77686539524263))-π/2
    2×atan(0.459845187414793)-π/2
    2×0.431010957882645-π/2
    0.862021915765289-1.57079632675     		φ = -0.70877441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81195521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.521607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70877441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.609782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48598 KachelY 81742 -0.81195521 -0.70877441 -46.521607 -40.609782
    Oben rechts KachelX + 1 48599 KachelY 81742 -0.81190727 -0.70877441 -46.518860 -40.609782
    Unten links KachelX 48598 KachelY + 1 81743 -0.81195521 -0.70881080 -46.521607 -40.611867
    Unten rechts KachelX + 1 48599 KachelY + 1 81743 -0.81190727 -0.70881080 -46.518860 -40.611867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70877441--0.70881080) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70877441--0.70881080) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81195521--0.81190727) × cos(-0.70877441) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759160187185377 × 6371000     		do = 231.867061950017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81195521--0.81190727) × cos(-0.70881080) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.759136500291957 × 6371000     		du = 231.859827363066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70877441)-sin(-0.70881080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759160187185377-0.759136500291957)×R²
    abs(-0.81190727--0.81195521)×2.36868934199164e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36868934199164e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36868934199164e-05×40589641000000     		ar = 53755.3810009956m²