Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48597 / 81518
↖ ↑ ↗
← S 40.141090°
W 46.524353°		 ← 233.44 m → S 40.141090°
W 46.521607°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.143190°
W 46.524353°		 ← 233.43 m →
54 491 m²		 S 40.143190°
W 46.521607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370769500732422 y=0.621936798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370769500732422 × 217)
    floor (0.370769500732422 × 131072)
    floor (48597.5)     		tx = 48597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621936798095703 × 217)
    floor (0.621936798095703 × 131072)
    floor (81518.5)     		ty = 81518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48597 / 81518 ti = "17/48597/81518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48597/81518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48597 ÷ 217
    48597 ÷ 131072     		x = 0.370765686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81518 ÷ 217
    81518 ÷ 131072     		y = 0.621932983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370765686035156 × 2 - 1) × π
    -0.258468627929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.81200314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621932983398438 × 2 - 1) × π
    -0.243865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766127529727737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81200314} λ = -0.81200314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766127529727737))-π/2
    2×atan(0.464809548817605)-π/2
    2×0.435101069392818-π/2
    0.870202138785636-1.57079632675     		φ = -0.70059419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81200314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.524353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70059419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.141090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48597 KachelY 81518 -0.81200314 -0.70059419 -46.524353 -40.141090
    Oben rechts KachelX + 1 48598 KachelY 81518 -0.81195521 -0.70059419 -46.521607 -40.141090
    Unten links KachelX 48597 KachelY + 1 81519 -0.81200314 -0.70063083 -46.524353 -40.143190
    Unten rechts KachelX + 1 48598 KachelY + 1 81519 -0.81195521 -0.70063083 -46.521607 -40.143190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70059419--0.70063083) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70059419--0.70063083) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81200314--0.81195521) × cos(-0.70059419) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.764459264581174 × 6371000     		do = 233.436832884417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81200314--0.81195521) × cos(-0.70063083) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.764435643284676 × 6371000     		du = 233.429619837367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70059419)-sin(-0.70063083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764459264581174-0.764435643284676)×R²
    abs(-0.81195521--0.81200314)×2.36212964987992e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36212964987992e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36212964987992e-05×40589641000000     		ar = 54491.1210458504m²