Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4859 / 5269
↖ ↑ ↗
← S 45.736860°
E 33.530273°		 ← 3 410.55 m → S 45.736860°
E 33.574219°		 →
↑
3 409.63 m
↓
↑
3 409.63 m
↓
S 45.767523°
E 33.530273°		 ← 3 408.68 m →
11 625 530 m²		 S 45.767523°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59320068359375 y=0.64324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59320068359375 × 213)
    floor (0.59320068359375 × 8192)
    floor (4859.5)     		tx = 4859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64324951171875 × 213)
    floor (0.64324951171875 × 8192)
    floor (5269.5)     		ty = 5269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4859 / 5269 ti = "13/4859/5269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4859/5269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4859 ÷ 213
    4859 ÷ 8192     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5269 ÷ 213
    5269 ÷ 8192     		y = 0.6431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899679732069214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899679732069214))-π/2
    2×atan(0.40669989181771)-π/2
    2×0.3862687690946-π/2
    0.772537538189201-1.57079632675     		φ = -0.79825879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79825879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.736860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4859 KachelY 5269 0.58521367 -0.79825879 33.530273 -45.736860
    Oben rechts KachelX + 1 4860 KachelY 5269 0.58598066 -0.79825879 33.574219 -45.736860
    Unten links KachelX 4859 KachelY + 1 5270 0.58521367 -0.79879397 33.530273 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 4860 KachelY + 1 5270 0.58598066 -0.79879397 33.574219 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79825879--0.79879397) × R
    0.000535179999999968 × 6371000     		dl = 3409.6317799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79825879--0.79879397) × R
    0.000535179999999968 × 6371000     		dr = 3409.6317799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58598066) × cos(-0.79825879) × R
    0.000766990000000023 × 0.697954720173338 × 6371000     		do = 3410.55105685095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58598066) × cos(-0.79879397) × R
    0.000766990000000023 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 3408.67774756072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79825879)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697954720173338-0.697571355420939)×R²
    abs(0.58598066-0.58521367)×0.000383364752399307×R²
    0.000766990000000023×0.000383364752399307×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383364752399307×40589641000000     		ar = 11625529.9007852m²