Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4859 / 3691
↖ ↑ ↗
← N 17.518344°
E 33.530273°		 ← 4 659.86 m → N 17.518344°
E 33.574219°		 →
↑
4 660.45 m
↓
↑
4 660.45 m
↓
N 17.476432°
E 33.530273°		 ← 4 660.94 m →
21 719 554 m²		 N 17.476432°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59320068359375 y=0.45062255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59320068359375 × 213)
    floor (0.59320068359375 × 8192)
    floor (4859.5)     		tx = 4859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45062255859375 × 213)
    floor (0.45062255859375 × 8192)
    floor (3691.5)     		ty = 3691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4859 / 3691 ti = "13/4859/3691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4859/3691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4859 ÷ 213
    4859 ÷ 8192     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3691 ÷ 213
    3691 ÷ 8192     		y = 0.4505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    0.098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310631109537964))-π/2
    2×atan(1.36428585630874)-π/2
    2×0.938274556181032-π/2
    1.87654911236206-1.57079632675     		φ = 0.30575279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30575279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.518344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4859 KachelY 3691 0.58521367 0.30575279 33.530273 17.518344
    Oben rechts KachelX + 1 4860 KachelY 3691 0.58598066 0.30575279 33.574219 17.518344
    Unten links KachelX 4859 KachelY + 1 3692 0.58521367 0.30502128 33.530273 17.476432
    Unten rechts KachelX + 1 4860 KachelY + 1 3692 0.58598066 0.30502128 33.574219 17.476432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30575279-0.30502128) × R
    0.000731509999999991 × 6371000     		dl = 4660.45020999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30575279-0.30502128) × R
    0.000731509999999991 × 6371000     		dr = 4660.45020999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58598066) × cos(0.30575279) × R
    0.000766990000000023 × 0.953620624620632 × 6371000     		do = 4659.86078341447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58598066) × cos(0.30502128) × R
    0.000766990000000023 × 0.95384056211299 × 6371000     		du = 4660.93550649509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30575279)-sin(0.30502128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953620624620632-0.95384056211299)×R²
    abs(0.58598066-0.58521367)×0.000219937492357491×R²
    0.000766990000000023×0.000219937492357491×6371000²
    0.000766990000000023×0.000219937492357491×40589641000000     		ar = 21719554.4818602m²