Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48589 / 81503
↖ ↑ ↗
← S 40.109588°
W 46.546326°		 ← 233.59 m → S 40.109588°
W 46.543579°		 →
↑
233.62 m
↓
↑
233.62 m
↓
S 40.111689°
W 46.546326°		 ← 233.59 m →
54 572 m²		 S 40.111689°
W 46.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370708465576172 y=0.621822357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370708465576172 × 217)
    floor (0.370708465576172 × 131072)
    floor (48589.5)     		tx = 48589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621822357177734 × 217)
    floor (0.621822357177734 × 131072)
    floor (81503.5)     		ty = 81503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48589 / 81503 ti = "17/48589/81503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48589/81503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48589 ÷ 217
    48589 ÷ 131072     		x = 0.370704650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81503 ÷ 217
    81503 ÷ 131072     		y = 0.621818542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370704650878906 × 2 - 1) × π
    -0.258590698242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.81238664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621818542480469 × 2 - 1) × π
    -0.243637084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.765408476233437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81238664} λ = -0.81238664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765408476233437))-π/2
    2×atan(0.465143891938756)-π/2
    2×0.435375976644369-π/2
    0.870751953288737-1.57079632675     		φ = -0.70004437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81238664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.546326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70004437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.109588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48589 KachelY 81503 -0.81238664 -0.70004437 -46.546326 -40.109588
    Oben rechts KachelX + 1 48590 KachelY 81503 -0.81233870 -0.70004437 -46.543579 -40.109588
    Unten links KachelX 48589 KachelY + 1 81504 -0.81238664 -0.70008104 -46.546326 -40.111689
    Unten rechts KachelX + 1 48590 KachelY + 1 81504 -0.81233870 -0.70008104 -46.543579 -40.111689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70004437--0.70008104) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dl = 233.624570000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70004437--0.70008104) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dr = 233.624570000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81238664--0.81233870) × cos(-0.70004437) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.764813602592844 × 6371000     		do = 233.593760534373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81238664--0.81233870) × cos(-0.70008104) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.764789977371628 × 6371000     		du = 233.586544783701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70004437)-sin(-0.70008104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764813602592844-0.764789977371628)×R²
    abs(-0.81233870--0.81238664)×2.3625221215462e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3625221215462e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3625221215462e-05×40589641000000     		ar = 54572.3989775453m²