Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48587 / 81585
↖ ↑ ↗
← S 40.281621°
W 46.551819°		 ← 233 m → S 40.281621°
W 46.549072°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 40.283716°
W 46.551819°		 ← 232.99 m →
54 286 m²		 S 40.283716°
W 46.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370693206787109 y=0.622447967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370693206787109 × 217)
    floor (0.370693206787109 × 131072)
    floor (48587.5)     		tx = 48587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622447967529297 × 217)
    floor (0.622447967529297 × 131072)
    floor (81585.5)     		ty = 81585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48587 / 81585 ti = "17/48587/81585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48587/81585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48587 ÷ 217
    48587 ÷ 131072     		x = 0.370689392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81585 ÷ 217
    81585 ÷ 131072     		y = 0.622444152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370689392089844 × 2 - 1) × π
    -0.258621215820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.81248251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.244888305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.769339302002281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81248251} λ = -0.81248251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769339302002281))-π/2
    2×atan(0.463319081198298)-π/2
    2×0.433874706141846-π/2
    0.867749412283692-1.57079632675     		φ = -0.70304691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81248251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.551819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70304691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.281621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48587 KachelY 81585 -0.81248251 -0.70304691 -46.551819 -40.281621
    Oben rechts KachelX + 1 48588 KachelY 81585 -0.81243457 -0.70304691 -46.549072 -40.281621
    Unten links KachelX 48587 KachelY + 1 81586 -0.81248251 -0.70308348 -46.551819 -40.283716
    Unten rechts KachelX + 1 48588 KachelY + 1 81586 -0.81243457 -0.70308348 -46.549072 -40.283716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70304691--0.70308348) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70304691--0.70308348) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81248251--0.81243457) × cos(-0.70304691) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.762875766743301 × 6371000     		do = 233.001895586027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81248251--0.81243457) × cos(-0.70308348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.762852122078929 × 6371000     		du = 232.994673896914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70304691)-sin(-0.70308348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762875766743301-0.762852122078929)×R²
    abs(-0.81243457--0.81248251)×2.36446643719912e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36446643719912e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36446643719912e-05×40589641000000     		ar = 54285.6808823335m²