Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48586 / 50874
↖ ↑ ↗
← S 70.009323°
E 86.890869°		 ← 208.81 m → S 70.009323°
E 86.896362°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 70.011200°
E 86.890869°		 ← 208.79 m →
43 593 m²		 S 70.011200°
E 86.896362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741371154785156 y=0.776283264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741371154785156 × 216)
    floor (0.741371154785156 × 65536)
    floor (48586.5)     		tx = 48586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776283264160156 × 216)
    floor (0.776283264160156 × 65536)
    floor (50874.5)     		ty = 50874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48586 / 50874 ti = "16/48586/50874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48586/50874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48586 ÷ 216
    48586 ÷ 65536     		x = 0.741363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50874 ÷ 216
    50874 ÷ 65536     		y = 0.776275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741363525390625 × 2 - 1) × π
    0.48272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51653176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73589100904147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51653176} λ = 1.51653176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73589100904147))-π/2
    2×atan(0.17624309611398)-π/2
    2×0.174451568868087-π/2
    0.348903137736173-1.57079632675     		φ = -1.22189319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51653176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22189319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.009323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48586 KachelY 50874 1.51653176 -1.22189319 86.890869 -70.009323
    Oben rechts KachelX + 1 48587 KachelY 50874 1.51662763 -1.22189319 86.896362 -70.009323
    Unten links KachelX 48586 KachelY + 1 50875 1.51653176 -1.22192596 86.890869 -70.011200
    Unten rechts KachelX + 1 48587 KachelY + 1 50875 1.51662763 -1.22192596 86.896362 -70.011200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22189319--1.22192596) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22189319--1.22192596) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51653176-1.51662763) × cos(-1.22189319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341867238025778 × 6371000     		do = 208.808327949819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51653176-1.51662763) × cos(-1.22192596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		du = 208.789518292109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22189319)-sin(-1.22192596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341867238025778-0.341836442291753)×R²
    abs(1.51662763-1.51653176)×3.07957340250353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07957340250353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07957340250353e-05×40589641000000     		ar = 43592.5526716586m²