Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48585 / 81721
↖ ↑ ↗
← S 40.565981°
W 46.557312°		 ← 232.02 m → S 40.565981°
W 46.554566°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.568068°
W 46.557312°		 ← 232.01 m →
53 835 m²		 S 40.568068°
W 46.554566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370677947998047 y=0.623485565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370677947998047 × 217)
    floor (0.370677947998047 × 131072)
    floor (48585.5)     		tx = 48585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623485565185547 × 217)
    floor (0.623485565185547 × 131072)
    floor (81721.5)     		ty = 81721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48585 / 81721 ti = "17/48585/81721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48585/81721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48585 ÷ 217
    48585 ÷ 131072     		x = 0.370674133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81721 ÷ 217
    81721 ÷ 131072     		y = 0.623481750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370674133300781 × 2 - 1) × π
    -0.258651733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.81257839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623481750488281 × 2 - 1) × π
    -0.246963500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.775858720350609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81257839} λ = -0.81257839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775858720350609))-π/2
    2×atan(0.46030833509964)-π/2
    2×0.431393196811901-π/2
    0.862786393623802-1.57079632675     		φ = -0.70800993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81257839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.557312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70800993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.565981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48585 KachelY 81721 -0.81257839 -0.70800993 -46.557312 -40.565981
    Oben rechts KachelX + 1 48586 KachelY 81721 -0.81253045 -0.70800993 -46.554566 -40.565981
    Unten links KachelX 48585 KachelY + 1 81722 -0.81257839 -0.70804635 -46.557312 -40.568068
    Unten rechts KachelX + 1 48586 KachelY + 1 81722 -0.81253045 -0.70804635 -46.554566 -40.568068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70800993--0.70804635) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dl = 232.031820000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70800993--0.70804635) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dr = 232.031820000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81257839--0.81253045) × cos(-0.70800993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759657568267396 × 6371000     		do = 232.018974934518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81257839--0.81253045) × cos(-0.70804635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75963388298944 × 6371000     		du = 232.011740840971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70800993)-sin(-0.70804635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759657568267396-0.75963388298944)×R²
    abs(-0.81253045--0.81257839)×2.36852779564867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36852779564867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36852779564867e-05×40589641000000     		ar = 53834.9457645462m²