Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48583 / 81094
↖ ↑ ↗
← S 39.245017°
W 46.562805°		 ← 236.54 m → S 39.245017°
W 46.560058°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 39.247144°
W 46.562805°		 ← 236.53 m →
55 938 m²		 S 39.247144°
W 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370662689208984 y=0.618701934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370662689208984 × 217)
    floor (0.370662689208984 × 131072)
    floor (48583.5)     		tx = 48583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618701934814453 × 217)
    floor (0.618701934814453 × 131072)
    floor (81094.5)     		ty = 81094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48583 / 81094 ti = "17/48583/81094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48583/81094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48583 ÷ 217
    48583 ÷ 131072     		x = 0.370658874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81094 ÷ 217
    81094 ÷ 131072     		y = 0.618698120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370658874511719 × 2 - 1) × π
    -0.258682250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.81267426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618698120117188 × 2 - 1) × π
    -0.237396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.745802284288834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81267426} λ = -0.81267426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745802284288834))-π/2
    2×atan(0.474353580812608)-π/2
    2×0.44292078426321-π/2
    0.885841568526419-1.57079632675     		φ = -0.68495476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81267426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.562805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68495476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.245017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48583 KachelY 81094 -0.81267426 -0.68495476 -46.562805 -39.245017
    Oben rechts KachelX + 1 48584 KachelY 81094 -0.81262632 -0.68495476 -46.560058 -39.245017
    Unten links KachelX 48583 KachelY + 1 81095 -0.81267426 -0.68499188 -46.562805 -39.247144
    Unten rechts KachelX + 1 48584 KachelY + 1 81095 -0.81262632 -0.68499188 -46.560058 -39.247144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68495476--0.68499188) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68495476--0.68499188) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81267426--0.81262632) × cos(-0.68495476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774447668426485 × 6371000     		do = 236.536252220279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81267426--0.81262632) × cos(-0.68499188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774424184371262 × 6371000     		du = 236.529079585334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68495476)-sin(-0.68499188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774447668426485-0.774424184371262)×R²
    abs(-0.81262632--0.81267426)×2.34840552228999e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34840552228999e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34840552228999e-05×40589641000000     		ar = 55937.9696953232m²