Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48583 / 81093
↖ ↑ ↗
← S 39.242890°
W 46.562805°		 ← 236.54 m → S 39.242890°
W 46.560058°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
S 39.245017°
W 46.562805°		 ← 236.54 m →
55 955 m²		 S 39.245017°
W 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370662689208984 y=0.618694305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370662689208984 × 217)
    floor (0.370662689208984 × 131072)
    floor (48583.5)     		tx = 48583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618694305419922 × 217)
    floor (0.618694305419922 × 131072)
    floor (81093.5)     		ty = 81093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48583 / 81093 ti = "17/48583/81093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48583/81093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48583 ÷ 217
    48583 ÷ 131072     		x = 0.370658874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81093 ÷ 217
    81093 ÷ 131072     		y = 0.618690490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370658874511719 × 2 - 1) × π
    -0.258682250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.81267426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618690490722656 × 2 - 1) × π
    -0.237380981445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.745754347389214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81267426} λ = -0.81267426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745754347389214))-π/2
    2×atan(0.474376320397625)-π/2
    2×0.442939346854773-π/2
    0.885878693709545-1.57079632675     		φ = -0.68491763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81267426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.562805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68491763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.242890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48583 KachelY 81093 -0.81267426 -0.68491763 -46.562805 -39.242890
    Oben rechts KachelX + 1 48584 KachelY 81093 -0.81262632 -0.68491763 -46.560058 -39.242890
    Unten links KachelX 48583 KachelY + 1 81094 -0.81267426 -0.68495476 -46.562805 -39.245017
    Unten rechts KachelX + 1 48584 KachelY + 1 81094 -0.81262632 -0.68495476 -46.560058 -39.245017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68491763--0.68495476) × R
    3.71299999999408e-05 × 6371000     		dl = 236.555229999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68491763--0.68495476) × R
    3.71299999999408e-05 × 6371000     		dr = 236.555229999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81267426--0.81262632) × cos(-0.68491763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774471157740693 × 6371000     		do = 236.543426461453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81267426--0.81262632) × cos(-0.68495476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774447668426485 × 6371000     		du = 236.536252220279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68491763)-sin(-0.68495476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774471157740693-0.774447668426485)×R²
    abs(-0.81262632--0.81267426)×2.34893142080361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34893142080361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34893142080361e-05×40589641000000     		ar = 55954.7361058424m²