Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48581 / 81092
↖ ↑ ↗
← S 39.240763°
W 46.568298°		 ← 236.50 m → S 39.240763°
W 46.565552°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 39.242890°
W 46.568298°		 ← 236.49 m →
55 930 m²		 S 39.242890°
W 46.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370647430419922 y=0.618686676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370647430419922 × 217)
    floor (0.370647430419922 × 131072)
    floor (48581.5)     		tx = 48581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618686676025391 × 217)
    floor (0.618686676025391 × 131072)
    floor (81092.5)     		ty = 81092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48581 / 81092 ti = "17/48581/81092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48581/81092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48581 ÷ 217
    48581 ÷ 131072     		x = 0.370643615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81092 ÷ 217
    81092 ÷ 131072     		y = 0.618682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370643615722656 × 2 - 1) × π
    -0.258712768554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.81277013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.23736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745706410489594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81277013} λ = -0.81277013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745706410489594))-π/2
    2×atan(0.474399061072732)-π/2
    2×0.442957910009261-π/2
    0.885915820018521-1.57079632675     		φ = -0.68488051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81277013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.568298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68488051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.240763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48581 KachelY 81092 -0.81277013 -0.68488051 -46.568298 -39.240763
    Oben rechts KachelX + 1 48582 KachelY 81092 -0.81272220 -0.68488051 -46.565552 -39.240763
    Unten links KachelX 48581 KachelY + 1 81093 -0.81277013 -0.68491763 -46.568298 -39.242890
    Unten rechts KachelX + 1 48582 KachelY + 1 81093 -0.81272220 -0.68491763 -46.565552 -39.242890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68488051--0.68491763) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68488051--0.68491763) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81277013--0.81272220) × cos(-0.68488051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774494639661382 × 6371000     		do = 236.501255391263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81277013--0.81272220) × cos(-0.68491763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774471157740693 × 6371000     		du = 236.494084904293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68488051)-sin(-0.68491763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774494639661382-0.774471157740693)×R²
    abs(-0.81272220--0.81277013)×2.34819206887948e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34819206887948e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34819206887948e-05×40589641000000     		ar = 55929.6934961485m²