Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4858 / 5270
↖ ↑ ↗
← S 45.767523°
E 33.486328°		 ← 3 408.68 m → S 45.767523°
E 33.530273°		 →
↑
3 407.72 m
↓
↑
3 407.72 m
↓
S 45.798170°
E 33.486328°		 ← 3 406.80 m →
11 612 630 m²		 S 45.798170°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59307861328125 y=0.64337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59307861328125 × 213)
    floor (0.59307861328125 × 8192)
    floor (4858.5)     		tx = 4858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64337158203125 × 213)
    floor (0.64337158203125 × 8192)
    floor (5270.5)     		ty = 5270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4858 / 5270 ti = "13/4858/5270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4858/5270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4858 ÷ 213
    4858 ÷ 8192     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5270 ÷ 213
    5270 ÷ 8192     		y = 0.643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900446722463135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900446722463135))-π/2
    2×atan(0.406388076502439)-π/2
    2×0.386001180320613-π/2
    0.772002360641226-1.57079632675     		φ = -0.79879397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79879397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.767523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4858 KachelY 5270 0.58444668 -0.79879397 33.486328 -45.767523
    Oben rechts KachelX + 1 4859 KachelY 5270 0.58521367 -0.79879397 33.530273 -45.767523
    Unten links KachelX 4858 KachelY + 1 5271 0.58444668 -0.79932885 33.486328 -45.798170
    Unten rechts KachelX + 1 4859 KachelY + 1 5271 0.58521367 -0.79932885 33.530273 -45.798170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79879397--0.79932885) × R
    0.000534880000000015 × 6371000     		dl = 3407.7204800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79879397--0.79932885) × R
    0.000534880000000015 × 6371000     		dr = 3407.7204800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58521367) × cos(-0.79879397) × R
    0.000766990000000023 × 0.697571355420939 × 6371000     		do = 3408.67774756072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58521367) × cos(-0.79932885) × R
    0.000766990000000023 × 0.69718800593834 × 6371000     		du = 3406.80451288628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79879397)-sin(-0.79932885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697571355420939-0.69718800593834)×R²
    abs(0.58521367-0.58444668)×0.000383349482598994×R²
    0.000766990000000023×0.000383349482598994×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383349482598994×40589641000000     		ar = 11612629.5168637m²