Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48576 / 85568
↖ ↑ ↗
← S 48.107431°
W 46.582031°		 ← 203.94 m → S 48.107431°
W 46.579285°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
S 48.109265°
W 46.582031°		 ← 203.94 m →
41 591 m²		 S 48.109265°
W 46.579285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370609283447266 y=0.652835845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370609283447266 × 217)
    floor (0.370609283447266 × 131072)
    floor (48576.5)     		tx = 48576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652835845947266 × 217)
    floor (0.652835845947266 × 131072)
    floor (85568.5)     		ty = 85568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48576 / 85568 ti = "17/48576/85568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48576/85568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48576 ÷ 217
    48576 ÷ 131072     		x = 0.37060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85568 ÷ 217
    85568 ÷ 131072     		y = 0.65283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65283203125 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81300982} λ = -0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960271973188965))-π/2
    2×atan(0.382788763535779)-π/2
    2×0.365581628948816-π/2
    0.731163257897632-1.57079632675     		φ = -0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48576 KachelY 85568 -0.81300982 -0.83963307 -46.582031 -48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 48577 KachelY 85568 -0.81296188 -0.83963307 -46.579285 -48.107431
    Unten links KachelX 48576 KachelY + 1 85569 -0.81300982 -0.83966508 -46.582031 -48.109265
    Unten rechts KachelX + 1 48577 KachelY + 1 85569 -0.81296188 -0.83966508 -46.579285 -48.109265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83963307--0.83966508) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83963307--0.83966508) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81300982--0.81296188) × cos(-0.83963307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 203.943765834684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81300982--0.81296188) × cos(-0.83966508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667712184275265 × 6371000     		du = 203.936487989155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83963307)-sin(-0.83966508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.667712184275265)×R²
    abs(-0.81296188--0.81300982)×2.38285271187966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38285271187966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38285271187966e-05×40589641000000     		ar = 41590.674582851m²