Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48571 / 81108
↖ ↑ ↗
← S 39.274790°
W 46.595764°		 ← 236.39 m → S 39.274790°
W 46.593018°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.276916°
W 46.595764°		 ← 236.38 m →
55 887 m²		 S 39.276916°
W 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370571136474609 y=0.618808746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370571136474609 × 217)
    floor (0.370571136474609 × 131072)
    floor (48571.5)     		tx = 48571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618808746337891 × 217)
    floor (0.618808746337891 × 131072)
    floor (81108.5)     		ty = 81108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48571 / 81108 ti = "17/48571/81108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48571/81108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48571 ÷ 217
    48571 ÷ 131072     		x = 0.370567321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81108 ÷ 217
    81108 ÷ 131072     		y = 0.618804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370567321777344 × 2 - 1) × π
    -0.258865356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.81324950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.23760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746473400883514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81324950} λ = -0.81324950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746473400883514))-π/2
    2×atan(0.474035341052715)-π/2
    2×0.442660967093232-π/2
    0.885321934186464-1.57079632675     		φ = -0.68547439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81324950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.595764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68547439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.274790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48571 KachelY 81108 -0.81324950 -0.68547439 -46.595764 -39.274790
    Oben rechts KachelX + 1 48572 KachelY 81108 -0.81320157 -0.68547439 -46.593018 -39.274790
    Unten links KachelX 48571 KachelY + 1 81109 -0.81324950 -0.68551150 -46.595764 -39.276916
    Unten rechts KachelX + 1 48572 KachelY + 1 81109 -0.81320157 -0.68551150 -46.593018 -39.276916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68547439--0.68551150) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dl = 236.427810000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68547439--0.68551150) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dr = 236.427810000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81324950--0.81320157) × cos(-0.68547439) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.77411882621336 × 6371000     		do = 236.386496233326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81324950--0.81320157) × cos(-0.68551150) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.774095333554163 × 6371000     		du = 236.379322467223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68547439)-sin(-0.68551150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77411882621336-0.774095333554163)×R²
    abs(-0.81320157--0.81324950)×2.34926591968776e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.34926591968776e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.34926591968776e-05×40589641000000     		ar = 55887.4935857825m²