Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48571 / 81107
↖ ↑ ↗
← S 39.272663°
W 46.595764°		 ← 236.39 m → S 39.272663°
W 46.593018°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.274790°
W 46.595764°		 ← 236.39 m →
55 889 m²		 S 39.274790°
W 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370571136474609 y=0.618801116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370571136474609 × 217)
    floor (0.370571136474609 × 131072)
    floor (48571.5)     		tx = 48571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618801116943359 × 217)
    floor (0.618801116943359 × 131072)
    floor (81107.5)     		ty = 81107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48571 / 81107 ti = "17/48571/81107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48571/81107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48571 ÷ 217
    48571 ÷ 131072     		x = 0.370567321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81107 ÷ 217
    81107 ÷ 131072     		y = 0.618797302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370567321777344 × 2 - 1) × π
    -0.258865356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.81324950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618797302246094 × 2 - 1) × π
    -0.237594604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.746425463983894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81324950} λ = -0.81324950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746425463983894))-π/2
    2×atan(0.474058065381938)-π/2
    2×0.442679521802951-π/2
    0.885359043605901-1.57079632675     		φ = -0.68543728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81324950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.595764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68543728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.272663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48571 KachelY 81107 -0.81324950 -0.68543728 -46.595764 -39.272663
    Oben rechts KachelX + 1 48572 KachelY 81107 -0.81320157 -0.68543728 -46.593018 -39.272663
    Unten links KachelX 48571 KachelY + 1 81108 -0.81324950 -0.68547439 -46.595764 -39.274790
    Unten rechts KachelX + 1 48572 KachelY + 1 81108 -0.81320157 -0.68547439 -46.593018 -39.274790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68543728--0.68547439) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dl = 236.42780999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68543728--0.68547439) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dr = 236.42780999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81324950--0.81320157) × cos(-0.68543728) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.774142317806477 × 6371000     		do = 236.393669673888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81324950--0.81320157) × cos(-0.68547439) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.77411882621336 × 6371000     		du = 236.386496233326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68543728)-sin(-0.68547439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774142317806477-0.77411882621336)×R²
    abs(-0.81320157--0.81324950)×2.34915931174307e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.34915931174307e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.34915931174307e-05×40589641000000     		ar = 55889.1896247899m²