Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4857 / 3579
↖ ↑ ↗
← N 22.146708°
E 33.442383°		 ← 4 525.98 m → N 22.146708°
E 33.486328°		 →
↑
4 526.66 m
↓
↑
4 526.66 m
↓
N 22.105999°
E 33.442383°		 ← 4 527.28 m →
20 490 510 m²		 N 22.105999°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59295654296875 y=0.43695068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59295654296875 × 213)
    floor (0.59295654296875 × 8192)
    floor (4857.5)     		tx = 4857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43695068359375 × 213)
    floor (0.43695068359375 × 8192)
    floor (3579.5)     		ty = 3579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4857 / 3579 ti = "13/4857/3579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4857/3579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4857 ÷ 213
    4857 ÷ 8192     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3579 ÷ 213
    3579 ÷ 8192     		y = 0.4368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396534033657104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396534033657104))-π/2
    2×atan(1.48666303369372)-π/2
    2×0.978664648011332-π/2
    1.95732929602266-1.57079632675     		φ = 0.38653297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38653297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.146708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4857 KachelY 3579 0.58367969 0.38653297 33.442383 22.146708
    Oben rechts KachelX + 1 4858 KachelY 3579 0.58444668 0.38653297 33.486328 22.146708
    Unten links KachelX 4857 KachelY + 1 3580 0.58367969 0.38582246 33.442383 22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 4858 KachelY + 1 3580 0.58444668 0.38582246 33.486328 22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38653297-0.38582246) × R
    0.000710509999999998 × 6371000     		dl = 4526.65920999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38653297-0.38582246) × R
    0.000710509999999998 × 6371000     		dr = 4526.65920999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58444668) × cos(0.38653297) × R
    0.000766990000000023 × 0.926221623022251 × 6371000     		do = 4525.97574595127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58444668) × cos(0.38582246) × R
    0.000766990000000023 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 4527.28343926386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38653297)-sin(0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926221623022251-0.926489236878441)×R²
    abs(0.58444668-0.58367969)×0.000267613856190674×R²
    0.000766990000000023×0.000267613856190674×6371000²
    0.000766990000000023×0.000267613856190674×40589641000000     		ar = 20490510.3976439m²