Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48569 / 81111
↖ ↑ ↗
← S 39.281168°
W 46.601258°		 ← 236.41 m → S 39.281168°
W 46.598511°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.283294°
W 46.601258°		 ← 236.41 m →
55 894 m²		 S 39.283294°
W 46.598511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370555877685547 y=0.618831634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370555877685547 × 217)
    floor (0.370555877685547 × 131072)
    floor (48569.5)     		tx = 48569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618831634521484 × 217)
    floor (0.618831634521484 × 131072)
    floor (81111.5)     		ty = 81111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48569 / 81111 ti = "17/48569/81111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48569/81111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48569 ÷ 217
    48569 ÷ 131072     		x = 0.370552062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81111 ÷ 217
    81111 ÷ 131072     		y = 0.618827819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370552062988281 × 2 - 1) × π
    -0.258895874023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.81334538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618827819824219 × 2 - 1) × π
    -0.237655639648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.746617211582375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81334538} λ = -0.81334538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746617211582375))-π/2
    2×atan(0.473967174600684)-π/2
    2×0.442605306342426-π/2
    0.885210612684852-1.57079632675     		φ = -0.68558571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81334538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.601258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68558571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.281168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48569 KachelY 81111 -0.81334538 -0.68558571 -46.601258 -39.281168
    Oben rechts KachelX + 1 48570 KachelY 81111 -0.81329744 -0.68558571 -46.598511 -39.281168
    Unten links KachelX 48569 KachelY + 1 81112 -0.81334538 -0.68562282 -46.601258 -39.283294
    Unten rechts KachelX + 1 48570 KachelY + 1 81112 -0.81329744 -0.68562282 -46.598511 -39.283294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68558571--0.68562282) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dl = 236.42780999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68558571--0.68562282) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dr = 236.42780999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81334538--0.81329744) × cos(-0.68558571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774048351368925 × 6371000     		do = 236.414290512479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81334538--0.81329744) × cos(-0.68562282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774024855511972 × 6371000     		du = 236.407114272982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68558571)-sin(-0.68562282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774048351368925-0.774024855511972)×R²
    abs(-0.81329744--0.81334538)×2.34958569534927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34958569534927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34958569534927e-05×40589641000000     		ar = 55894.0646337494m²