Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48567 / 81112
↖ ↑ ↗
← S 39.283294°
W 46.606751°		 ← 236.41 m → S 39.283294°
W 46.604004°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
S 39.285420°
W 46.606751°		 ← 236.40 m →
55 877 m²		 S 39.285420°
W 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370540618896484 y=0.618839263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370540618896484 × 217)
    floor (0.370540618896484 × 131072)
    floor (48567.5)     		tx = 48567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618839263916016 × 217)
    floor (0.618839263916016 × 131072)
    floor (81112.5)     		ty = 81112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48567 / 81112 ti = "17/48567/81112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48567/81112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48567 ÷ 217
    48567 ÷ 131072     		x = 0.370536804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81112 ÷ 217
    81112 ÷ 131072     		y = 0.61883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370536804199219 × 2 - 1) × π
    -0.258926391601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.81344125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.2376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.746665148481995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81344125} λ = -0.81344125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746665148481995))-π/2
    2×atan(0.473944454628379)-π/2
    2×0.442586753884968-π/2
    0.885173507769937-1.57079632675     		φ = -0.68562282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81344125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.606751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68562282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.283294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48567 KachelY 81112 -0.81344125 -0.68562282 -46.606751 -39.283294
    Oben rechts KachelX + 1 48568 KachelY 81112 -0.81339331 -0.68562282 -46.604004 -39.283294
    Unten links KachelX 48567 KachelY + 1 81113 -0.81344125 -0.68565992 -46.606751 -39.285420
    Unten rechts KachelX + 1 48568 KachelY + 1 81113 -0.81339331 -0.68565992 -46.604004 -39.285420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68562282--0.68565992) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dl = 236.364100000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68562282--0.68565992) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dr = 236.364100000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81344125--0.81339331) × cos(-0.68562282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774024855511972 × 6371000     		do = 236.407114272982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81344125--0.81339331) × cos(-0.68565992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774001364920908 × 6371000     		du = 236.399939641823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68562282)-sin(-0.68565992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774024855511972-0.774001364920908)×R²
    abs(-0.81339331--0.81344125)×2.34905910642125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34905910642125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34905910642125e-05×40589641000000     		ar = 55877.3068924858m²