Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48564 / 81109
↖ ↑ ↗
← S 39.276916°
W 46.614990°		 ← 236.43 m → S 39.276916°
W 46.612243°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.279042°
W 46.614990°		 ← 236.42 m →
55 897 m²		 S 39.279042°
W 46.612243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370517730712891 y=0.618816375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370517730712891 × 217)
    floor (0.370517730712891 × 131072)
    floor (48564.5)     		tx = 48564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618816375732422 × 217)
    floor (0.618816375732422 × 131072)
    floor (81109.5)     		ty = 81109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48564 / 81109 ti = "17/48564/81109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48564/81109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48564 ÷ 217
    48564 ÷ 131072     		x = 0.370513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81109 ÷ 217
    81109 ÷ 131072     		y = 0.618812561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.25897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81358506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618812561035156 × 2 - 1) × π
    -0.237625122070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.746521337783134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81358506} λ = -0.81358506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746521337783134))-π/2
    2×atan(0.4740126178128)-π/2
    2×0.442642412946566-π/2
    0.885284825893133-1.57079632675     		φ = -0.68551150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81358506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68551150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.276916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48564 KachelY 81109 -0.81358506 -0.68551150 -46.614990 -39.276916
    Oben rechts KachelX + 1 48565 KachelY 81109 -0.81353712 -0.68551150 -46.612243 -39.276916
    Unten links KachelX 48564 KachelY + 1 81110 -0.81358506 -0.68554861 -46.614990 -39.279042
    Unten rechts KachelX + 1 48565 KachelY + 1 81110 -0.81353712 -0.68554861 -46.612243 -39.279042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68551150--0.68554861) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dl = 236.42780999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68551150--0.68554861) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dr = 236.42780999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81358506--0.81353712) × cos(-0.68551150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774095333554163 × 6371000     		do = 236.428640081172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81358506--0.81353712) × cos(-0.68554861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774071839828919 × 6371000     		du = 236.421464492754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68551150)-sin(-0.68554861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774095333554163-0.774071839828919)×R²
    abs(-0.81353712--0.81358506)×2.3493725243795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3493725243795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3493725243795e-05×40589641000000     		ar = 55897.4573475396m²