Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48562 / 81633
↖ ↑ ↗
← S 40.382120°
W 46.620483°		 ← 232.61 m → S 40.382120°
W 46.617737°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.384213°
W 46.620483°		 ← 232.60 m →
54 119 m²		 S 40.384213°
W 46.617737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370502471923828 y=0.622814178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370502471923828 × 217)
    floor (0.370502471923828 × 131072)
    floor (48562.5)     		tx = 48562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622814178466797 × 217)
    floor (0.622814178466797 × 131072)
    floor (81633.5)     		ty = 81633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48562 / 81633 ti = "17/48562/81633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48562/81633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48562 ÷ 217
    48562 ÷ 131072     		x = 0.370498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81633 ÷ 217
    81633 ÷ 131072     		y = 0.622810363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370498657226562 × 2 - 1) × π
    -0.259002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81368093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622810363769531 × 2 - 1) × π
    -0.245620727539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.771640273184044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81368093} λ = -0.81368093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771640273184044))-π/2
    2×atan(0.462254222918429)-π/2
    2×0.432997681546605-π/2
    0.865995363093209-1.57079632675     		φ = -0.70480096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81368093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.620483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70480096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.382120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48562 KachelY 81633 -0.81368093 -0.70480096 -46.620483 -40.382120
    Oben rechts KachelX + 1 48563 KachelY 81633 -0.81363300 -0.70480096 -46.617737 -40.382120
    Unten links KachelX 48562 KachelY + 1 81634 -0.81368093 -0.70483748 -46.620483 -40.384213
    Unten rechts KachelX + 1 48563 KachelY + 1 81634 -0.81363300 -0.70483748 -46.617737 -40.384213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70480096--0.70483748) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70480096--0.70483748) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81368093--0.81363300) × cos(-0.70480096) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.761740521328288 × 6371000     		do = 232.606631925668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81368093--0.81363300) × cos(-0.70483748) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.761716860161446 × 6371000     		du = 232.599406703729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70480096)-sin(-0.70483748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761740521328288-0.761716860161446)×R²
    abs(-0.81363300--0.81368093)×2.36611668419373e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36611668419373e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36611668419373e-05×40589641000000     		ar = 54119.4932987335m²