Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48556 / 50772
↖ ↑ ↗
← S 69.816891°
E 86.726074°		 ← 210.76 m → S 69.816891°
E 86.731568°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 69.818786°
E 86.726074°		 ← 210.74 m →
44 416 m²		 S 69.818786°
E 86.731568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740913391113281 y=0.774726867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740913391113281 × 216)
    floor (0.740913391113281 × 65536)
    floor (48556.5)     		tx = 48556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774726867675781 × 216)
    floor (0.774726867675781 × 65536)
    floor (50772.5)     		ty = 50772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48556 / 50772 ti = "16/48556/50772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48556/50772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48556 ÷ 216
    48556 ÷ 65536     		x = 0.74090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50772 ÷ 216
    50772 ÷ 65536     		y = 0.77471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    0.4818115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51365554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51365554} λ = 1.51365554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72611188151898))-π/2
    2×atan(0.177975054544579)-π/2
    2×0.176130851813024-π/2
    0.352261703626049-1.57079632675     		φ = -1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51365554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48556 KachelY 50772 1.51365554 -1.21853462 86.726074 -69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 48557 KachelY 50772 1.51375142 -1.21853462 86.731568 -69.816891
    Unten links KachelX 48556 KachelY + 1 50773 1.51365554 -1.21856770 86.726074 -69.818786
    Unten rechts KachelX + 1 48557 KachelY + 1 50773 1.51375142 -1.21856770 86.731568 -69.818786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21853462--1.21856770) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dl = 210.752679999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21853462--1.21856770) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dr = 210.752679999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51365554-1.51375142) × cos(-1.21853462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 210.756902627498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51365554-1.51375142) × cos(-1.21856770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344990465372511 × 6371000     		du = 210.737936358549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21853462)-sin(-1.21856770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.344990465372511)×R²
    abs(1.51375142-1.51365554)×3.10489039808126e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10489039808126e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10489039808126e-05×40589641000000     		ar = 44415.5834648284m²