Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48554 / 50860
↖ ↑ ↗
← S 69.983015°
E 86.715088°		 ← 209.09 m → S 69.983015°
E 86.720581°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 69.984895°
E 86.715088°		 ← 209.07 m →
43 719 m²		 S 69.984895°
E 86.720581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740882873535156 y=0.776069641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740882873535156 × 216)
    floor (0.740882873535156 × 65536)
    floor (48554.5)     		tx = 48554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776069641113281 × 216)
    floor (0.776069641113281 × 65536)
    floor (50860.5)     		ty = 50860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48554 / 50860 ti = "16/48554/50860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48554/50860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48554 ÷ 216
    48554 ÷ 65536     		x = 0.740875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50860 ÷ 216
    50860 ÷ 65536     		y = 0.77606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740875244140625 × 2 - 1) × π
    0.48175048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51346379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.5521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73454877585211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51346379} λ = 1.51346379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73454877585211))-π/2
    2×atan(0.176479814276928)-π/2
    2×0.174681146396905-π/2
    0.349362292793809-1.57079632675     		φ = -1.22143403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51346379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.715088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22143403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.983015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48554 KachelY 50860 1.51346379 -1.22143403 86.715088 -69.983015
    Oben rechts KachelX + 1 48555 KachelY 50860 1.51355967 -1.22143403 86.720581 -69.983015
    Unten links KachelX 48554 KachelY + 1 50861 1.51346379 -1.22146685 86.715088 -69.984895
    Unten rechts KachelX + 1 48555 KachelY + 1 50861 1.51355967 -1.22146685 86.720581 -69.984895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22143403--1.22146685) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22143403--1.22146685) × R
    3.28200000001555e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51346379-1.51355967) × cos(-1.22143403) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342298696783953 × 6371000     		do = 209.093665532412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51346379-1.51355967) × cos(-1.22146685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342267859216786 × 6371000     		du = 209.074828358868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22143403)-sin(-1.22146685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342298696783953-0.342267859216786)×R²
    abs(1.51355967-1.51346379)×3.08375671668748e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08375671668748e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08375671668748e-05×40589641000000     		ar = 43718.7257020148m²