Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48552 / 55947
↖ ↑ ↗
← N 25.455675°
W 46.647949°		 ← 275.72 m → N 25.455675°
W 46.645203°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.453195°
W 46.647949°		 ← 275.72 m →
76 026 m²		 N 25.453195°
W 46.645203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370426177978516 y=0.426845550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370426177978516 × 217)
    floor (0.370426177978516 × 131072)
    floor (48552.5)     		tx = 48552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426845550537109 × 217)
    floor (0.426845550537109 × 131072)
    floor (55947.5)     		ty = 55947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48552 / 55947 ti = "17/48552/55947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48552/55947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48552 ÷ 217
    48552 ÷ 131072     		x = 0.37042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55947 ÷ 217
    55947 ÷ 131072     		y = 0.426841735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.2591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.81416030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426841735839844 × 2 - 1) × π
    0.146316528320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.459666930456718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81416030} λ = -0.81416030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459666930456718))-π/2
    2×atan(1.5835464660509)-π/2
    2×1.0075408339332-π/2
    2.01508166786639-1.57079632675     		φ = 0.44428534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81416030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44428534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.455675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48552 KachelY 55947 -0.81416030 0.44428534 -46.647949 25.455675
    Oben rechts KachelX + 1 48553 KachelY 55947 -0.81411237 0.44428534 -46.645203 25.455675
    Unten links KachelX 48552 KachelY + 1 55948 -0.81416030 0.44424206 -46.647949 25.453195
    Unten rechts KachelX + 1 48553 KachelY + 1 55948 -0.81411237 0.44424206 -46.645203 25.453195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44428534-0.44424206) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44428534-0.44424206) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81416030--0.81411237) × cos(0.44428534) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.902918065899495 × 6371000     		do = 275.716893526274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81416030--0.81411237) × cos(0.44424206) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.902936667347954 × 6371000     		du = 275.722573702336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44428534)-sin(0.44424206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902918065899495-0.902936667347954)×R²
    abs(-0.81411237--0.81416030)×1.86014484586661e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.86014484586661e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.86014484586661e-05×40589641000000     		ar = 76026.0991130541m²