Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48551 / 55945
↖ ↑ ↗
← N 25.460635°
W 46.650696°		 ← 275.76 m → N 25.460635°
W 46.647949°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.458155°
W 46.650696°		 ← 275.77 m →
76 056 m²		 N 25.458155°
W 46.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370418548583984 y=0.426830291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370418548583984 × 217)
    floor (0.370418548583984 × 131072)
    floor (48551.5)     		tx = 48551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426830291748047 × 217)
    floor (0.426830291748047 × 131072)
    floor (55945.5)     		ty = 55945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48551 / 55945 ti = "17/48551/55945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48551/55945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48551 ÷ 217
    48551 ÷ 131072     		x = 0.370414733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55945 ÷ 217
    55945 ÷ 131072     		y = 0.426826477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370414733886719 × 2 - 1) × π
    -0.259170532226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.81420824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426826477050781 × 2 - 1) × π
    0.146347045898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.459762804255959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81420824} λ = -0.81420824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459762804255959))-π/2
    2×atan(1.58369829394491)-π/2
    2×1.00758411613402-π/2
    2.01516823226804-1.57079632675     		φ = 0.44437191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81420824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.650696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44437191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.460635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48551 KachelY 55945 -0.81420824 0.44437191 -46.650696 25.460635
    Oben rechts KachelX + 1 48552 KachelY 55945 -0.81416030 0.44437191 -46.647949 25.460635
    Unten links KachelX 48551 KachelY + 1 55946 -0.81420824 0.44432862 -46.650696 25.458155
    Unten rechts KachelX + 1 48552 KachelY + 1 55946 -0.81416030 0.44432862 -46.647949 25.458155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44437191-0.44432862) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44437191-0.44432862) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81420824--0.81416030) × cos(0.44437191) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.902880853629778 × 6371000     		do = 275.763052852164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81420824--0.81416030) × cos(0.44432862) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.902899462759728 × 6371000     		du = 275.76873655945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44437191)-sin(0.44432862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902880853629778-0.902899462759728)×R²
    abs(-0.81416030--0.81420824)×1.86091299496649e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.86091299496649e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.86091299496649e-05×40589641000000     		ar = 76056.3964735986m²