Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48546 / 56013
↖ ↑ ↗
← N 25.291888°
W 46.664428°		 ← 276.09 m → N 25.291888°
W 46.661682°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.289405°
W 46.664428°		 ← 276.10 m →
76 235 m²		 N 25.289405°
W 46.661682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370380401611328 y=0.427349090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370380401611328 × 217)
    floor (0.370380401611328 × 131072)
    floor (48546.5)     		tx = 48546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427349090576172 × 217)
    floor (0.427349090576172 × 131072)
    floor (56013.5)     		ty = 56013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48546 / 56013 ti = "17/48546/56013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48546/56013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48546 ÷ 217
    48546 ÷ 131072     		x = 0.370376586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56013 ÷ 217
    56013 ÷ 131072     		y = 0.427345275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370376586914062 × 2 - 1) × π
    -0.259246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81444792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427345275878906 × 2 - 1) × π
    0.145309448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.456503095081795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81444792} λ = -0.81444792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456503095081795))-π/2
    2×atan(1.5785443029067)-π/2
    2×1.00611152221055-π/2
    2.0122230444211-1.57079632675     		φ = 0.44142672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81444792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.664428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44142672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.291888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48546 KachelY 56013 -0.81444792 0.44142672 -46.664428 25.291888
    Oben rechts KachelX + 1 48547 KachelY 56013 -0.81439999 0.44142672 -46.661682 25.291888
    Unten links KachelX 48546 KachelY + 1 56014 -0.81444792 0.44138338 -46.664428 25.289405
    Unten rechts KachelX + 1 48547 KachelY + 1 56014 -0.81439999 0.44138338 -46.661682 25.289405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44142672-0.44138338) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44142672-0.44138338) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81444792--0.81439999) × cos(0.44142672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904143046248127 × 6371000     		do = 276.090956012881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81444792--0.81439999) × cos(0.44138338) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904161561541034 × 6371000     		du = 276.096609880309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44142672)-sin(0.44138338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904143046248127-0.904161561541034)×R²
    abs(-0.81439999--0.81444792)×1.85152929068622e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85152929068622e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85152929068622e-05×40589641000000     		ar = 76234.7779185359m²