Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48540 / 50939
↖ ↑ ↗
← S 70.131032°
E 86.638184°		 ← 207.61 m → S 70.131032°
E 86.643677°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 70.132898°
E 86.638184°		 ← 207.59 m →
43 091 m²		 S 70.132898°
E 86.643677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740669250488281 y=0.777275085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740669250488281 × 216)
    floor (0.740669250488281 × 65536)
    floor (48540.5)     		tx = 48540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777275085449219 × 216)
    floor (0.777275085449219 × 65536)
    floor (50939.5)     		ty = 50939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48540 / 50939 ti = "16/48540/50939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48540/50939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48540 ÷ 216
    48540 ÷ 65536     		x = 0.74066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50939 ÷ 216
    50939 ÷ 65536     		y = 0.777267456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74066162109375 × 2 - 1) × π
    0.4813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.51212156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777267456054688 × 2 - 1) × π
    -0.554534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74212280599208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51212156} λ = 1.51212156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74212280599208))-π/2
    2×atan(0.175148200053399)-π/2
    2×0.173389459124882-π/2
    0.346778918249764-1.57079632675     		φ = -1.22401741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51212156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22401741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.131032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48540 KachelY 50939 1.51212156 -1.22401741 86.638184 -70.131032
    Oben rechts KachelX + 1 48541 KachelY 50939 1.51221744 -1.22401741 86.643677 -70.131032
    Unten links KachelX 48540 KachelY + 1 50940 1.51212156 -1.22404999 86.638184 -70.132898
    Unten rechts KachelX + 1 48541 KachelY + 1 50940 1.51221744 -1.22404999 86.643677 -70.132898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22401741--1.22404999) × R
    3.25799999998377e-05 × 6371000     		dl = 207.567179998966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22401741--1.22404999) × R
    3.25799999998377e-05 × 6371000     		dr = 207.567179998966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51212156-1.51221744) × cos(-1.22401741) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339870236173585 × 6371000     		do = 207.610236774448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51212156-1.51221744) × cos(-1.22404999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33983959540437 × 6371000     		du = 207.591519815225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22401741)-sin(-1.22404999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339870236173585-0.33983959540437)×R²
    abs(1.51221744-1.51212156)×3.06407692148292e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06407692148292e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06407692148292e-05×40589641000000     		ar = 43091.1288764187m²