Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4854 / 3690
↖ ↑ ↗
← N 17.560247°
E 33.310547°		 ← 4 658.78 m → N 17.560247°
E 33.354492°		 →
↑
4 659.30 m
↓
↑
4 659.30 m
↓
N 17.518344°
E 33.310547°		 ← 4 659.86 m →
21 709 197 m²		 N 17.518344°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59259033203125 y=0.45050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59259033203125 × 213)
    floor (0.59259033203125 × 8192)
    floor (4854.5)     		tx = 4854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45050048828125 × 213)
    floor (0.45050048828125 × 8192)
    floor (3690.5)     		ty = 3690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4854 / 3690 ti = "13/4854/3690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4854/3690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4854 ÷ 213
    4854 ÷ 8192     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3690 ÷ 213
    3690 ÷ 8192     		y = 0.450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311398099931885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311398099931885))-π/2
    2×atan(1.36533265184483)-π/2
    2×0.938640222865364-π/2
    1.87728044573073-1.57079632675     		φ = 0.30648412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30648412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.560247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4854 KachelY 3690 0.58137872 0.30648412 33.310547 17.560247
    Oben rechts KachelX + 1 4855 KachelY 3690 0.58214571 0.30648412 33.354492 17.560247
    Unten links KachelX 4854 KachelY + 1 3691 0.58137872 0.30575279 33.310547 17.518344
    Unten rechts KachelX + 1 4855 KachelY + 1 3691 0.58214571 0.30575279 33.354492 17.518344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30648412-0.30575279) × R
    0.00073133000000003 × 6371000     		dl = 4659.30343000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30648412-0.30575279) × R
    0.00073133000000003 × 6371000     		dr = 4659.30343000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.30648412) × R
    0.000766990000000023 × 0.95340023114688 × 6371000     		do = 4658.78383218382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.30575279) × R
    0.000766990000000023 × 0.953620624620632 × 6371000     		du = 4659.86078341447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30648412)-sin(0.30575279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95340023114688-0.953620624620632)×R²
    abs(0.58214571-0.58137872)×0.000220393473752467×R²
    0.000766990000000023×0.000220393473752467×6371000²
    0.000766990000000023×0.000220393473752467×40589641000000     		ar = 21709197.3777903m²