Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4854 / 3574
↖ ↑ ↗
← N 22.350076°
E 33.310547°		 ← 4 519.41 m → N 22.350076°
E 33.354492°		 →
↑
4 520.03 m
↓
↑
4 520.03 m
↓
N 22.309426°
E 33.310547°		 ← 4 520.73 m →
20 430 856 m²		 N 22.309426°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59259033203125 y=0.43634033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59259033203125 × 213)
    floor (0.59259033203125 × 8192)
    floor (4854.5)     		tx = 4854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43634033203125 × 213)
    floor (0.43634033203125 × 8192)
    floor (3574.5)     		ty = 3574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4854 / 3574 ti = "13/4854/3574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4854/3574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4854 ÷ 213
    4854 ÷ 8192     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3574 ÷ 213
    3574 ÷ 8192     		y = 0.436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.400368985626709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400368985626709))-π/2
    2×atan(1.49237526108102)-π/2
    2×0.980439368835759-π/2
    1.96087873767152-1.57079632675     		φ = 0.39008241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39008241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.350076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4854 KachelY 3574 0.58137872 0.39008241 33.310547 22.350076
    Oben rechts KachelX + 1 4855 KachelY 3574 0.58214571 0.39008241 33.354492 22.350076
    Unten links KachelX 4854 KachelY + 1 3575 0.58137872 0.38937294 33.310547 22.309426
    Unten rechts KachelX + 1 4855 KachelY + 1 3575 0.58214571 0.38937294 33.354492 22.309426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39008241-0.38937294) × R
    0.00070946999999999 × 6371000     		dl = 4520.03336999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39008241-0.38937294) × R
    0.00070946999999999 × 6371000     		dr = 4520.03336999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.39008241) × R
    0.000766990000000023 × 0.924877725389341 × 6371000     		do = 4519.40879918561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.38937294) × R
    0.000766990000000023 × 0.925147278950199 × 6371000     		du = 4520.72597085204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39008241)-sin(0.38937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924877725389341-0.925147278950199)×R²
    abs(0.58214571-0.58137872)×0.000269553560858338×R²
    0.000766990000000023×0.000269553560858338×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269553560858338×40589641000000     		ar = 20430856.2719194m²