Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4854 / 3572
↖ ↑ ↗
← N 22.431340°
E 33.310547°		 ← 4 516.77 m → N 22.431340°
E 33.354492°		 →
↑
4 517.42 m
↓
↑
4 517.42 m
↓
N 22.390714°
E 33.310547°		 ← 4 518.09 m →
20 407 132 m²		 N 22.390714°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59259033203125 y=0.43609619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59259033203125 × 213)
    floor (0.59259033203125 × 8192)
    floor (4854.5)     		tx = 4854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43609619140625 × 213)
    floor (0.43609619140625 × 8192)
    floor (3572.5)     		ty = 3572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4854 / 3572 ti = "13/4854/3572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4854/3572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4854 ÷ 213
    4854 ÷ 8192     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3572 ÷ 213
    3572 ÷ 8192     		y = 0.43603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.401902966414551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401902966414551))-π/2
    2×atan(1.49466629280985)-π/2
    2×0.981148534073795-π/2
    1.96229706814759-1.57079632675     		φ = 0.39150074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39150074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.431340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4854 KachelY 3572 0.58137872 0.39150074 33.310547 22.431340
    Oben rechts KachelX + 1 4855 KachelY 3572 0.58214571 0.39150074 33.354492 22.431340
    Unten links KachelX 4854 KachelY + 1 3573 0.58137872 0.39079168 33.310547 22.390714
    Unten rechts KachelX + 1 4855 KachelY + 1 3573 0.58214571 0.39079168 33.354492 22.390714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39150074-0.39079168) × R
    0.000709060000000039 × 6371000     		dl = 4517.42126000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39150074-0.39079168) × R
    0.000709060000000039 × 6371000     		dr = 4517.42126000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.39150074) × R
    0.000766990000000023 × 0.924337454559975 × 6371000     		do = 4516.76876940313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58214571) × cos(0.39079168) × R
    0.000766990000000023 × 0.924607782477568 × 6371000     		du = 4518.08972495855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39150074)-sin(0.39079168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924337454559975-0.924607782477568)×R²
    abs(0.58214571-0.58137872)×0.000270327917593183×R²
    0.000766990000000023×0.000270327917593183×6371000²
    0.000766990000000023×0.000270327917593183×40589641000000     		ar = 20407131.7767638m²