Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48529 / 55889
↖ ↑ ↗
← N 25.599425°
W 46.711121°		 ← 275.44 m → N 25.599425°
W 46.708374°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.596949°
W 46.711121°		 ← 275.45 m →
75 863 m²		 N 25.596949°
W 46.708374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370250701904297 y=0.426403045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370250701904297 × 217)
    floor (0.370250701904297 × 131072)
    floor (48529.5)     		tx = 48529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426403045654297 × 217)
    floor (0.426403045654297 × 131072)
    floor (55889.5)     		ty = 55889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48529 / 55889 ti = "17/48529/55889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48529/55889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48529 ÷ 217
    48529 ÷ 131072     		x = 0.370246887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55889 ÷ 217
    55889 ÷ 131072     		y = 0.426399230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370246887207031 × 2 - 1) × π
    -0.259506225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.81526285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426399230957031 × 2 - 1) × π
    0.147201538085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.462447270634682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81526285} λ = -0.81526285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462447270634682))-π/2
    2×atan(1.58795539022846)-π/2
    2×1.00879529259895-π/2
    2.01759058519791-1.57079632675     		φ = 0.44679426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81526285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.711121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44679426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.599425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48529 KachelY 55889 -0.81526285 0.44679426 -46.711121 25.599425
    Oben rechts KachelX + 1 48530 KachelY 55889 -0.81521491 0.44679426 -46.708374 25.599425
    Unten links KachelX 48529 KachelY + 1 55890 -0.81526285 0.44675103 -46.711121 25.596949
    Unten rechts KachelX + 1 48530 KachelY + 1 55890 -0.81521491 0.44675103 -46.708374 25.596949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44679426-0.44675103) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44679426-0.44675103) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81526285--0.81521491) × cos(0.44679426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901836859536254 × 6371000     		do = 275.444190182956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81526285--0.81521491) × cos(0.44675103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901855537369503 × 6371000     		du = 275.449894873998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44679426)-sin(0.44675103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901836859536254-0.901855537369503)×R²
    abs(-0.81521491--0.81526285)×1.86778332490478e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86778332490478e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86778332490478e-05×40589641000000     		ar = 75863.1644684848m²