Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48522 / 50986
↖ ↑ ↗
← S 70.218593°
E 86.539306°		 ← 206.73 m → S 70.218593°
E 86.544800°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 70.220452°
E 86.539306°		 ← 206.71 m →
42 724 m²		 S 70.220452°
E 86.544800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740394592285156 y=0.777992248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740394592285156 × 216)
    floor (0.740394592285156 × 65536)
    floor (48522.5)     		tx = 48522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777992248535156 × 216)
    floor (0.777992248535156 × 65536)
    floor (50986.5)     		ty = 50986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48522 / 50986 ti = "16/48522/50986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48522/50986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48522 ÷ 216
    48522 ÷ 65536     		x = 0.740386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50986 ÷ 216
    50986 ÷ 65536     		y = 0.777984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740386962890625 × 2 - 1) × π
    0.48077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51039583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.55596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74662887455637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51039583} λ = 1.51039583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74662887455637))-π/2
    2×atan(0.174360745749006)-π/2
    2×0.172625340373953-π/2
    0.345250680747907-1.57079632675     		φ = -1.22554565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51039583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.539306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22554565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.218593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48522 KachelY 50986 1.51039583 -1.22554565 86.539306 -70.218593
    Oben rechts KachelX + 1 48523 KachelY 50986 1.51049171 -1.22554565 86.544800 -70.218593
    Unten links KachelX 48522 KachelY + 1 50987 1.51039583 -1.22557809 86.539306 -70.220452
    Unten rechts KachelX + 1 48523 KachelY + 1 50987 1.51049171 -1.22557809 86.544800 -70.220452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22554565--1.22557809) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22554565--1.22557809) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51039583-1.51049171) × cos(-1.22554565) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33843257239759 × 6371000     		do = 206.732037729139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51039583-1.51049171) × cos(-1.22557809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338402046482997 × 6371000     		du = 206.713390929032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22554565)-sin(-1.22557809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33843257239759-0.338402046482997)×R²
    abs(1.51049171-1.51039583)×3.05259145931824e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05259145931824e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05259145931824e-05×40589641000000     		ar = 42724.4666014446m²