Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48522 / 50922
↖ ↑ ↗
← S 70.099269°
E 86.539306°		 ← 207.93 m → S 70.099269°
E 86.544800°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 70.101139°
E 86.539306°		 ← 207.91 m →
43 237 m²		 S 70.101139°
E 86.544800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740394592285156 y=0.777015686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740394592285156 × 216)
    floor (0.740394592285156 × 65536)
    floor (48522.5)     		tx = 48522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777015686035156 × 216)
    floor (0.777015686035156 × 65536)
    floor (50922.5)     		ty = 50922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48522 / 50922 ti = "16/48522/50922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48522/50922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48522 ÷ 216
    48522 ÷ 65536     		x = 0.740386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50922 ÷ 216
    50922 ÷ 65536     		y = 0.777008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740386962890625 × 2 - 1) × π
    0.48077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51039583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51039583} λ = 1.51039583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.740492951405))-π/2
    2×atan(0.175433898911227)-π/2
    2×0.173666641026069-π/2
    0.347333282052138-1.57079632675     		φ = -1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51039583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.539306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48522 KachelY 50922 1.51039583 -1.22346304 86.539306 -70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 48523 KachelY 50922 1.51049171 -1.22346304 86.544800 -70.099269
    Unten links KachelX 48522 KachelY + 1 50923 1.51039583 -1.22349568 86.539306 -70.101139
    Unten rechts KachelX + 1 48523 KachelY + 1 50923 1.51049171 -1.22349568 86.544800 -70.101139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22346304--1.22349568) × R
    3.26400000001392e-05 × 6371000     		dl = 207.949440000887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22346304--1.22349568) × R
    3.26400000001392e-05 × 6371000     		dr = 207.949440000887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51039583-1.51049171) × cos(-1.22346304) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 207.928684279178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51039583-1.51049171) × cos(-1.22349568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340360862528634 × 6371000     		du = 207.909936609556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22346304)-sin(-1.22349568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.340360862528634)×R²
    abs(1.51049171-1.51039583)×3.06910439529795e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06910439529795e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06910439529795e-05×40589641000000     		ar = 43236.7041763649m²