Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48520 / 50988
↖ ↑ ↗
← S 70.222311°
E 86.528321°		 ← 206.67 m → S 70.222311°
E 86.533814°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 70.224169°
E 86.528321°		 ← 206.65 m →
42 712 m²		 S 70.224169°
E 86.533814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740364074707031 y=0.778022766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740364074707031 × 216)
    floor (0.740364074707031 × 65536)
    floor (48520.5)     		tx = 48520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778022766113281 × 216)
    floor (0.778022766113281 × 65536)
    floor (50988.5)     		ty = 50988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48520 / 50988 ti = "16/48520/50988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48520/50988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48520 ÷ 216
    48520 ÷ 65536     		x = 0.7403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50988 ÷ 216
    50988 ÷ 65536     		y = 0.77801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7403564453125 × 2 - 1) × π
    0.480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.51020409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74682062215485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51020409} λ = 1.51020409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74682062215485))-π/2
    2×atan(0.174327315699907)-π/2
    2×0.172592896484174-π/2
    0.345185792968349-1.57079632675     		φ = -1.22561053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51020409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.528321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22561053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.222311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48520 KachelY 50988 1.51020409 -1.22561053 86.528321 -70.222311
    Oben rechts KachelX + 1 48521 KachelY 50988 1.51029996 -1.22561053 86.533814 -70.222311
    Unten links KachelX 48520 KachelY + 1 50989 1.51020409 -1.22564297 86.528321 -70.224169
    Unten rechts KachelX + 1 48521 KachelY + 1 50989 1.51029996 -1.22564297 86.533814 -70.224169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22561053--1.22564297) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22561053--1.22564297) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51020409-1.51029996) × cos(-1.22561053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338371520212285 × 6371000     		do = 206.673186261967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51020409-1.51029996) × cos(-1.22564297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338340993585487 × 6371000     		du = 206.654540971659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22561053)-sin(-1.22564297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338371520212285-0.338340993585487)×R²
    abs(1.51029996-1.51020409)×3.05266267983106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05266267983106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05266267983106e-05×40589641000000     		ar = 42712.3036161163m²