Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4852 / 3580
↖ ↑ ↗
← N 22.105999°
E 33.222656°		 ← 4 527.28 m → N 22.105999°
E 33.266602°		 →
↑
4 527.93 m
↓
↑
4 527.93 m
↓
N 22.065278°
E 33.222656°		 ← 4 528.59 m →
20 502 195 m²		 N 22.065278°
E 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59234619140625 y=0.43707275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59234619140625 × 213)
    floor (0.59234619140625 × 8192)
    floor (4852.5)     		tx = 4852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43707275390625 × 213)
    floor (0.43707275390625 × 8192)
    floor (3580.5)     		ty = 3580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4852 / 3580 ti = "13/4852/3580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4852/3580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4852 ÷ 213
    4852 ÷ 8192     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3580 ÷ 213
    3580 ÷ 8192     		y = 0.43701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395767043263184))-π/2
    2×atan(1.48552321459891)-π/2
    2×0.978309395140989-π/2
    1.95661879028198-1.57079632675     		φ = 0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4852 KachelY 3580 0.57984474 0.38582246 33.222656 22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 4853 KachelY 3580 0.58061173 0.38582246 33.266602 22.105999
    Unten links KachelX 4852 KachelY + 1 3581 0.57984474 0.38511175 33.222656 22.065278
    Unten rechts KachelX + 1 4853 KachelY + 1 3581 0.58061173 0.38511175 33.266602 22.065278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38582246-0.38511175) × R
    0.000710710000000003 × 6371000     		dl = 4527.93341000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38582246-0.38511175) × R
    0.000710710000000003 × 6371000     		dr = 4527.93341000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58061173) × cos(0.38582246) × R
    0.000766990000000023 × 0.926489236878441 × 6371000     		do = 4527.28343926386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58061173) × cos(0.38511175) × R
    0.000766990000000023 × 0.926756458152782 × 6371000     		du = 4528.58921422787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38582246)-sin(0.38511175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926489236878441-0.926756458152782)×R²
    abs(0.58061173-0.57984474)×0.000267221274340868×R²
    0.000766990000000023×0.000267221274340868×6371000²
    0.000766990000000023×0.000267221274340868×40589641000000     		ar = 20502195.035212m²