Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4851 / 7940
↖ ↑ ↗
← N 67.592475°
W126.705322°		 ← 465.65 m → N 67.592475°
W126.694336°		 →
↑
465.72 m
↓
↑
465.72 m
↓
N 67.588287°
W126.705322°		 ← 465.74 m →
216 884 m²		 N 67.588287°
W126.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148056030273438 y=0.242324829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148056030273438 × 215)
    floor (0.148056030273438 × 32768)
    floor (4851.5)     		tx = 4851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242324829101562 × 215)
    floor (0.242324829101562 × 32768)
    floor (7940.5)     		ty = 7940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4851 / 7940 ti = "15/4851/7940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4851/7940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4851 ÷ 215
    4851 ÷ 32768     		x = 0.148040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7940 ÷ 215
    7940 ÷ 32768     		y = 0.2423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.70391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21142505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2423095703125 × 2 - 1) × π
    0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21142505} λ = -2.21142505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61911672156702))-π/2
    2×atan(5.04862900144909)-π/2
    2×1.37525378211439-π/2
    2.75050756422878-1.57079632675     		φ = 1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21142505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.705322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4851 KachelY 7940 -2.21142505 1.17971124 -126.705322 67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 4852 KachelY 7940 -2.21123331 1.17971124 -126.694336 67.592475
    Unten links KachelX 4851 KachelY + 1 7941 -2.21142505 1.17963814 -126.705322 67.588287
    Unten rechts KachelX + 1 4852 KachelY + 1 7941 -2.21123331 1.17963814 -126.694336 67.588287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17971124-1.17963814) × R
    7.31000000000481e-05 × 6371000     		dl = 465.720100000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17971124-1.17963814) × R
    7.31000000000481e-05 × 6371000     		dr = 465.720100000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21142505--2.21123331) × cos(1.17971124) × R
    0.000191739999999996 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 465.654576136178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21142505--2.21123331) × cos(1.17963814) × R
    0.000191739999999996 × 0.381259377351575 × 6371000     		du = 465.737129768304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17971124)-sin(1.17963814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381259377351575)×R²
    abs(-2.21123331--2.21142505)×6.75796374621784e-05×R²
    0.000191739999999996×6.75796374621784e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.75796374621784e-05×40589641000000     		ar = 216883.919303695m²