Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48505 / 50949
↖ ↑ ↗
← S 70.149693°
E 86.445923°		 ← 207.40 m → S 70.149693°
E 86.451416°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 70.151558°
E 86.445923°		 ← 207.38 m →
43 008 m²		 S 70.151558°
E 86.451416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740135192871094 y=0.777427673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740135192871094 × 216)
    floor (0.740135192871094 × 65536)
    floor (48505.5)     		tx = 48505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777427673339844 × 216)
    floor (0.777427673339844 × 65536)
    floor (50949.5)     		ty = 50949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48505 / 50949 ti = "16/48505/50949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48505/50949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48505 ÷ 216
    48505 ÷ 65536     		x = 0.740127563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50949 ÷ 216
    50949 ÷ 65536     		y = 0.777420043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740127563476562 × 2 - 1) × π
    0.480255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50876598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777420043945312 × 2 - 1) × π
    -0.554840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74308154398448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50876598} λ = 1.50876598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74308154398448))-π/2
    2×atan(0.174980359290221)-π/2
    2×0.173226609302307-π/2
    0.346453218604615-1.57079632675     		φ = -1.22434311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50876598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.445923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22434311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.149693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48505 KachelY 50949 1.50876598 -1.22434311 86.445923 -70.149693
    Oben rechts KachelX + 1 48506 KachelY 50949 1.50886185 -1.22434311 86.451416 -70.149693
    Unten links KachelX 48505 KachelY + 1 50950 1.50876598 -1.22437566 86.445923 -70.151558
    Unten rechts KachelX + 1 48506 KachelY + 1 50950 1.50886185 -1.22437566 86.451416 -70.151558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22434311--1.22437566) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22434311--1.22437566) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50876598-1.50886185) × cos(-1.22434311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339563906311018 × 6371000     		do = 207.401481108191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50876598-1.50886185) × cos(-1.22437566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339533290154945 × 6371000     		du = 207.382781134497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22434311)-sin(-1.22437566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339563906311018-0.339533290154945)×R²
    abs(1.50886185-1.50876598)×3.06161560729157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06161560729157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06161560729157e-05×40589641000000     		ar = 43008.1609569135m²