Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48501 / 51009
↖ ↑ ↗
← S 70.261307°
E 86.423950°		 ← 206.30 m → S 70.261307°
E 86.429444°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
S 70.263163°
E 86.423950°		 ← 206.28 m →
42 557 m²		 S 70.263163°
E 86.429444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740074157714844 y=0.778343200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740074157714844 × 216)
    floor (0.740074157714844 × 65536)
    floor (48501.5)     		tx = 48501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778343200683594 × 216)
    floor (0.778343200683594 × 65536)
    floor (51009.5)     		ty = 51009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48501 / 51009 ti = "16/48501/51009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48501/51009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48501 ÷ 216
    48501 ÷ 65536     		x = 0.740066528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51009 ÷ 216
    51009 ÷ 65536     		y = 0.778335571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740066528320312 × 2 - 1) × π
    0.480133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50838248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.556671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74883397193889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50838248} λ = 1.50838248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74883397193889))-π/2
    2×atan(0.173976686924117)-π/2
    2×0.172252588873607-π/2
    0.344505177747214-1.57079632675     		φ = -1.22629115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50838248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.423950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22629115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.261307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48501 KachelY 51009 1.50838248 -1.22629115 86.423950 -70.261307
    Oben rechts KachelX + 1 48502 KachelY 51009 1.50847836 -1.22629115 86.429444 -70.261307
    Unten links KachelX 48501 KachelY + 1 51010 1.50838248 -1.22632353 86.423950 -70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 48502 KachelY + 1 51010 1.50847836 -1.22632353 86.429444 -70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22629115--1.22632353) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22629115--1.22632353) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50838248-1.50847836) × cos(-1.22629115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337730969891363 × 6371000     		do = 206.303462799839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50838248-1.50847836) × cos(-1.22632353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 206.284845503498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22629115)-sin(-1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337730969891363-0.337700492276181)×R²
    abs(1.50847836-1.50838248)×3.04776151828223e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04776151828223e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04776151828223e-05×40589641000000     		ar = 42557.0358201859m²