Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4850 / 3631
↖ ↑ ↗
← N 20.014645°
E 33.134766°		 ← 4 591.37 m → N 20.014645°
E 33.178711°		 →
↑
4 591.96 m
↓
↑
4 591.96 m
↓
N 19.973349°
E 33.134766°		 ← 4 592.58 m →
21 086 182 m²		 N 19.973349°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59210205078125 y=0.44329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59210205078125 × 213)
    floor (0.59210205078125 × 8192)
    floor (4850.5)     		tx = 4850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44329833984375 × 213)
    floor (0.44329833984375 × 8192)
    floor (3631.5)     		ty = 3631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4850 / 3631 ti = "13/4850/3631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4850/3631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4850 ÷ 213
    4850 ÷ 8192     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3631 ÷ 213
    3631 ÷ 8192     		y = 0.4432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356650533173218))-π/2
    2×atan(1.42853655647489)-π/2
    2×0.960058894212906-π/2
    1.92011778842581-1.57079632675     		φ = 0.34932146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34932146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.014645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4850 KachelY 3631 0.57831076 0.34932146 33.134766 20.014645
    Oben rechts KachelX + 1 4851 KachelY 3631 0.57907775 0.34932146 33.178711 20.014645
    Unten links KachelX 4850 KachelY + 1 3632 0.57831076 0.34860070 33.134766 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 4851 KachelY + 1 3632 0.57907775 0.34860070 33.178711 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34932146-0.34860070) × R
    0.000720759999999987 × 6371000     		dl = 4591.96195999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34932146-0.34860070) × R
    0.000720759999999987 × 6371000     		dr = 4591.96195999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57907775) × cos(0.34932146) × R
    0.000766989999999912 × 0.939605166456441 × 6371000     		do = 4591.3743411382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57907775) × cos(0.34860070) × R
    0.000766989999999912 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 4592.57858550841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34932146)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939605166456441-0.939851609928014)×R²
    abs(0.57907775-0.57831076)×0.000246443471573765×R²
    0.000766989999999912×0.000246443471573765×6371000²
    0.000766989999999912×0.000246443471573765×40589641000000     		ar = 21086182.1536431m²