Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4850 / 3582
↖ ↑ ↗
← N 22.024546°
E 33.134766°		 ← 4 529.89 m → N 22.024546°
E 33.178711°		 →
↑
4 530.55 m
↓
↑
4 530.55 m
↓
N 21.983802°
E 33.134766°		 ← 4 531.20 m →
20 525 837 m²		 N 21.983802°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59210205078125 y=0.43731689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59210205078125 × 213)
    floor (0.59210205078125 × 8192)
    floor (4850.5)     		tx = 4850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43731689453125 × 213)
    floor (0.43731689453125 × 8192)
    floor (3582.5)     		ty = 3582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4850 / 3582 ti = "13/4850/3582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4850/3582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4850 ÷ 213
    4850 ÷ 8192     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3582 ÷ 213
    3582 ÷ 8192     		y = 0.437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.394233062475342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394233062475342))-π/2
    2×atan(1.48324619742462)-π/2
    2×0.977598581890864-π/2
    1.95519716378173-1.57079632675     		φ = 0.38440084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38440084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.024546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4850 KachelY 3582 0.57831076 0.38440084 33.134766 22.024546
    Oben rechts KachelX + 1 4851 KachelY 3582 0.57907775 0.38440084 33.178711 22.024546
    Unten links KachelX 4850 KachelY + 1 3583 0.57831076 0.38368972 33.134766 21.983802
    Unten rechts KachelX + 1 4851 KachelY + 1 3583 0.57907775 0.38368972 33.178711 21.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38440084-0.38368972) × R
    0.00071112000000001 × 6371000     		dl = 4530.54552000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38440084-0.38368972) × R
    0.00071112000000001 × 6371000     		dr = 4530.54552000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57907775) × cos(0.38440084) × R
    0.000766989999999912 × 0.927023286315161 × 6371000     		do = 4529.89306825226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57907775) × cos(0.38368972) × R
    0.000766989999999912 × 0.927289724578809 × 6371000     		du = 4531.19501703978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38440084)-sin(0.38368972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927023286315161-0.927289724578809)×R²
    abs(0.57907775-0.57831076)×0.000266438263648028×R²
    0.000766989999999912×0.000266438263648028×6371000²
    0.000766989999999912×0.000266438263648028×40589641000000     		ar = 20525836.8805511m²