Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48481 / 54239
↖ ↑ ↗
← N 29.614058°
W 46.842956°		 ← 265.47 m → N 29.614058°
W 46.840210°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
N 29.611670°
W 46.842956°		 ← 265.48 m →
70 496 m²		 N 29.611670°
W 46.840210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369884490966797 y=0.413814544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369884490966797 × 217)
    floor (0.369884490966797 × 131072)
    floor (48481.5)     		tx = 48481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413814544677734 × 217)
    floor (0.413814544677734 × 131072)
    floor (54239.5)     		ty = 54239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48481 / 54239 ti = "17/48481/54239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48481/54239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48481 ÷ 217
    48481 ÷ 131072     		x = 0.369880676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54239 ÷ 217
    54239 ÷ 131072     		y = 0.413810729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369880676269531 × 2 - 1) × π
    -0.260238647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.81756382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413810729980469 × 2 - 1) × π
    0.172378540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.541543155007774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81756382} λ = -0.81756382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541543155007774))-π/2
    2×atan(1.71865697100607)-π/2
    2×1.04382957143998-π/2
    2.08765914287996-1.57079632675     		φ = 0.51686282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81756382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.842956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51686282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.614058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48481 KachelY 54239 -0.81756382 0.51686282 -46.842956 29.614058
    Oben rechts KachelX + 1 48482 KachelY 54239 -0.81751589 0.51686282 -46.840210 29.614058
    Unten links KachelX 48481 KachelY + 1 54240 -0.81756382 0.51682114 -46.842956 29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 48482 KachelY + 1 54240 -0.81751589 0.51682114 -46.840210 29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51686282-0.51682114) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dl = 265.543279999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51686282-0.51682114) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dr = 265.543279999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81756382--0.81751589) × cos(0.51686282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.869373709060988 × 6371000     		do = 265.473720627655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81756382--0.81751589) × cos(0.51682114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 265.480009752036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51686282)-sin(0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869373709060988-0.869394304694246)×R²
    abs(-0.81751589--0.81756382)×2.05956332578472e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.05956332578472e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.05956332578472e-05×40589641000000     		ar = 70495.5975566276m²