Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48480 / 54238
↖ ↑ ↗
← N 29.616446°
W 46.845703°		 ← 265.52 m → N 29.616446°
W 46.842956°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
N 29.614058°
W 46.845703°		 ← 265.53 m →
70 492 m²		 N 29.614058°
W 46.842956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369876861572266 y=0.413806915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369876861572266 × 217)
    floor (0.369876861572266 × 131072)
    floor (48480.5)     		tx = 48480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413806915283203 × 217)
    floor (0.413806915283203 × 131072)
    floor (54238.5)     		ty = 54238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48480 / 54238 ti = "17/48480/54238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48480/54238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48480 ÷ 217
    48480 ÷ 131072     		x = 0.369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54238 ÷ 217
    54238 ÷ 131072     		y = 0.413803100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81761176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413803100585938 × 2 - 1) × π
    0.172393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.541591091907394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81761176} λ = -0.81761176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541591091907394))-π/2
    2×atan(1.71873936006749)-π/2
    2×1.04385040873333-π/2
    2.08770081746666-1.57079632675     		φ = 0.51690449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81761176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51690449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.616446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48480 KachelY 54238 -0.81761176 0.51690449 -46.845703 29.616446
    Oben rechts KachelX + 1 48481 KachelY 54238 -0.81756382 0.51690449 -46.842956 29.616446
    Unten links KachelX 48480 KachelY + 1 54239 -0.81761176 0.51686282 -46.845703 29.614058
    Unten rechts KachelX + 1 48481 KachelY + 1 54239 -0.81756382 0.51686282 -46.842956 29.614058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51690449-0.51686282) × R
    4.16700000001047e-05 × 6371000     		dl = 265.479570000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51690449-0.51686282) × R
    4.16700000001047e-05 × 6371000     		dr = 265.479570000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81761176--0.81756382) × cos(0.51690449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869353116859349 × 6371000     		do = 265.522819037899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81761176--0.81756382) × cos(0.51686282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869373709060988 × 6371000     		du = 265.529108426323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51690449)-sin(0.51686282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869353116859349-0.869373709060988)×R²
    abs(-0.81756382--0.81761176)×2.05922016390803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05922016390803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05922016390803e-05×40589641000000     		ar = 70491.7186859074m²