Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48469 / 50995
↖ ↑ ↗
← S 70.235318°
E 86.248169°		 ← 206.56 m → S 70.235318°
E 86.253662°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 70.237176°
E 86.248169°		 ← 206.55 m →
42 663 m²		 S 70.237176°
E 86.253662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739585876464844 y=0.778129577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739585876464844 × 216)
    floor (0.739585876464844 × 65536)
    floor (48469.5)     		tx = 48469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778129577636719 × 216)
    floor (0.778129577636719 × 65536)
    floor (50995.5)     		ty = 50995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48469 / 50995 ti = "16/48469/50995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48469/50995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48469 ÷ 216
    48469 ÷ 65536     		x = 0.739578247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50995 ÷ 216
    50995 ÷ 65536     		y = 0.778121948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739578247070312 × 2 - 1) × π
    0.479156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50531452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778121948242188 × 2 - 1) × π
    -0.556243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74749173874953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50531452} λ = 1.50531452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74749173874953))-π/2
    2×atan(0.174210360994946)-π/2
    2×0.172479388960596-π/2
    0.344958777921192-1.57079632675     		φ = -1.22583755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50531452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.248169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22583755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.235318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48469 KachelY 50995 1.50531452 -1.22583755 86.248169 -70.235318
    Oben rechts KachelX + 1 48470 KachelY 50995 1.50541040 -1.22583755 86.253662 -70.235318
    Unten links KachelX 48469 KachelY + 1 50996 1.50531452 -1.22586997 86.248169 -70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 48470 KachelY + 1 50996 1.50541040 -1.22586997 86.253662 -70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22583755--1.22586997) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dl = 206.547819999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22583755--1.22586997) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dr = 206.547819999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50531452-1.50541040) × cos(-1.22583755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338157882814044 × 6371000     		do = 206.56424319049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50531452-1.50541040) × cos(-1.22586997) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 206.545605931122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22583755)-sin(-1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338157882814044-0.338127372518205)×R²
    abs(1.50541040-1.50531452)×3.05102958387815e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05102958387815e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05102958387815e-05×40589641000000     		ar = 42663.4693821107m²